我爱孩子 新闻 九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时坡角、方向角与解直角三角形作业设计(含答案新人教版)

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时坡角、方向角与解直角三角形作业设计(含答案新人教版)

九年级数学卷二第28章锐角三角形函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用例题二年级倾斜角、方向角与解直角三角形运算设计(含答案新教育版)

第2课时 坡角、方向角与解直角三角形
知识点 1 方向角问题
1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,那么海轮航行的距离AB是(  )
 
A.2海里  B.2sin55°海里C.2cos55°海里 D.2tan55°海里
2.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上.航行2小时后到达N处,观测到灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947)(  )
 
A.22.48海里  B.41.68海里C.43.16海里  D.55.63海里
3.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为(  )
 
A.4 km  B.2 3kmC.2 2km  D.(3+1)km
4.如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
 

知识点 2 坡角问题
5.如图,一山坡的坡度为i=1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米.
 
6.如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他距离地面的高度h=2米,则这个土坡的坡角∠A=________°.
 
7.如图,小华站在河岸上的点G,看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时,测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若小华的眼睛与地面的距离是1.6 m,BG=0.7 m,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4∶3,坡长AB=8 m,点A,B,C,D,F,G在同一个平面上,则此时小船C到岸边的距离CA的长为________m.(结果保留根号)
 
8.如图,一堤坝的坡角∠ABC=62°,坡面长度AB=25米(图为横截面),为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角∠ADB=50°,则此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果精确到0.1米,参考数据:sin62°≈0.88,cos62°≈0.47,tan50°≈1.19)
 

9.某地一天桥如图所示,天桥高6米,坡面BC的坡度为1∶1.为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC的坡度为1∶3.
(1)求新坡面的坡角α;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
 

10.    如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处60 3米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1∶3的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度.(参考数据:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,
tan53°≈43,计算结果用根号表示)
 

11.如图,一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α,其中tanα=2 3,无人机的飞行高度AH=500 3米,桥的长为1255米.
(1)求H到桥的左端点P的距离;
(2)无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度.
 


参考答案
1.C [解析] 由题意可知∠NPA=55°,AP=2海里,∠ABP=90°.∵AB∥NP,
∴∠A=∠NPA=55°.在Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠A=55°,AP=2海里,∴AB=AP·cosA=2cos55°(海里).故选C.
 
2.B [解析] 如图,过点P作PA⊥MN于点A.由题意,得MN=30×2=60(海里).
∵∠MNC=90°,∠CNP=46°,∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°.∵∠BMP=68°,
∴∠PMN=90°-∠BMP=22°,∴∠MPN=180°-∠PMN-∠MNP=22°,
∴∠PMN=∠MPN,∴MN=PN=60海里.∵∠CNP=46°,∴∠PNA=44°,
∴PA=PN·sin∠PNA≈60×0.6947≈41.68(海里).
 
3.C [解析] 由题意知OA=4 km,∠AOB=30°,∠BAC=75°,则∠B=45°.过点A作AH⊥OB,垂足为H.在Rt△OAH中,∠AHO=90°,OA=4 km,∠AOB=30°,∴AH=12OA=2(km).在Rt△BAH中,∠AHB=90°,∠B=45°,AH=2 km,∴AB=2AH=2 2(km).故选C.
 
4.解:如图,作AC⊥BD于点C.由题意知∠ABC=30°,∠ADC=60°.设AC=x海里,则BC=3x海里,DC=33x海里.因为BC-DC=3x-33x=12,所以x=6 3.因为6 3=108>64=8,所以渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.
 
5.100 [解析] 根据题意,得tanA=BCAC=13=33,所以∠A=30°,所以BC=12AB=12×200=100(米).
6.30 [解析] 因为sinA=hAB=24=12,所以∠A=30°.
7.(8 3-112) [解析] 如图所示,延长DG交CA的延长线于点H,则DH⊥CH,过点B作BE⊥AH,垂足为E.在Rt△ABE中,iAB=4∶3,即BEAE=43.设BE=4x,AE=3x(x>0).由勾股定理,得AB=5x.由AB=8,得x=85,从而BE=325=GH,AE=245.∴DH=DG+GH=1.6+325=8,AH=245+0.7=112.∵∠FDC=30°,∴∠C=30°.在Rt△CDH中,DHCH=tan30°,即8CH=33,∴CH=8 3,∴CA=CH-AH=8 3-112(m).
 
8.解:如图,过点A作AE⊥BC于点E.
 
在Rt△ABE中,AB=25米,∠ABC=62°,
∴AE=AB·sin∠ABC=25sin62°≈25×0.88=22(米),
BE=AB·cos∠ABC=25cos62°≈25×0.47=11.75(米).
在Rt△ADE中,AE≈22米,tan50°≈1.19,
∴DE=AEtan50°≈221.19≈18.49(米),
∴DB=DE-BE≈18.49-11.75=6.74≈6.7(米).
答:应将坝底向外拓宽约6.7米.
9.解:(1)由tanα=13=33,得α=30°.
(2)文化墙PM不需要拆除.
理由:作CD⊥AB,垂足为D,则CD=6米,∴AD=CDtanα=6 3(米),BD=6米,
∴AB=AD-BD=6 3-6(米)
∴文化墙PM不需要拆除.
 
10.解:过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于点F,则四边形CEBF是矩形.
∵斜坡的斜面DB的坡度i=1∶3,
∴∠BDE=30°.
在Rt△BDE中,BD=30米,
∴BE=BD·sin30°=15(米),
ED=BD·cos30°=15 3(米),
∴BF=CE=CD-ED=45 3(米).
在Rt△AFB中,∠ABF=53°,
∵tan∠ABF=AFBF,
∴AF=BF·tan53°≈45 3×43=60 3(米),
∴AC=AF+CF=AF+BE≈60 3+15(米).
答:楼房AC的高度约是(60 3+15)米.
11.解:(1)在Rt△AHP中,
∵∠APH=α,AH=500 3米,
∴tan∠APH=AHHP=tanα,
即500 3HP=2 3,解得HP=250(米).
答:H到桥的左端点P的距离为250米.
(2)过点Q作QM⊥AB交AB的延长线于点M,则可得AM=HQ=HP+PQ=1255+250=1505(米),QM=AH=500 3米.
∵在Rt△QMB中,∠QMB=90°,∠QBM=30°,QM=500 3米,
∴BM=QMtan∠QBM=500 333=1500(米),
∴AB=AM-BM=1505-1500=5(米).
答:这架无人机的长度为5米.

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