2020年中考数学热点特训13圈(含分析)

热点13 圆
【命题趋势】
圆在中考数学中分值各个省市有所不同，大约占到8—12分左右，考查的重点在于圆周角定理、切线的判定与性质定理、垂径定理、圆锥和扇形以及弧长公式这几部分内容，虽然圆的内容考的不是太多但也是必考内容之一，难度一般不大。
【满分技巧】
一、重点把握四个内容：
1．圆周角定理；
2．切线的判定与性质定理；
3．垂径定理；
4．圆锥的侧面积，扇形面积以及弧长公式；
二、圆中的计算部分——垂径定理
关于圆的计算题，一定离不开垂径定理，而把握好这一定理的关键在于用好一个特殊的三角形。
——由弦心距、半径、半条弦组成的特殊三角形，综合勾股定理或三角函数，从而能顺利地解决问题
 
三、解决问题的秘诀:将问题转化成三角形问题
平面几何的几乎所有问题，不论是四边形问题，还是圆的问题最终都要转化成三角形问题，在三角形中用勾股定理或三角函数结合方程的思想解决。
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1. (2018 江苏省无锡市)如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（  ）
 
A．0                        B．1                        C．2                        D．3
【答案】C
【解析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，
∵AD∥BC，∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OG，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
 
2. (2019 广西梧州市)如图，在半径为 的⊙O中，弦 与 交于点 ， ， ， ，则 的长是   
 
A．     B．     C．     D．
【答案】C
【解析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、0D，如图所示：
则DE=CF,AG=BG=12 AB=3
∴EG=AG-AE=2
在 中， ，
∴EG=OG，
 是等腰直角三角形，
 ， ，
 ，
 ，
 ，
在 中， ，
 ；
故选：C．
3. (2019 湖北省黄冈市)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是 的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（  ）
 
A．25m    B．24m    C．30m    D．60m
【答案】A
【解析】∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
4. (2019 湖南省益阳市)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（  ）
 
A．PA＝PB    B．∠BPD＝∠APD    C．AB⊥PD    D．AB平分PD
【答案】D
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
故选：D．
5. (2019 山东省滨州市)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（  ）
 
A．60°    B．50°    C．40°    D．20°
【答案】B
【解析】如图，连接AD，
 
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
6. (2019 山东省聊城市)如图，BC是半圆O的直径，D，E是 上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（  ）
 
A．35°    B．38°    C．40°    D．42°
【答案】C
【解析】连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，
故选：C．
 
7. (2019 浙江省台州市)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（  ）
 
A．2     B．3    C．4    D．4﹣
【答案】A
【解析】设⊙O与AC的切点为E，
连接AO，OE，
∵等边三角形ABC的边长为8，
∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，
∵圆分别与边AB，AC相切，
∴∠BAO＝∠CAO＝ BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，
∴OC＝ AC＝4，
∵OE⊥AC，
∴OE＝ OC＝2 ，
∴⊙O的半径为2 ，
故选：A．
 

8. (2019 重庆市)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（  ）
 
A．40°    B．50°    C．80°    D．100°
【答案】C
【解析】∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；
故选：C．
9. (2019 四川省广元市)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（  ）
 
A．2     B．4    C．2     D．4.8
【答案】C
【解析】∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝3，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝ AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝ ＝2 ．
故选：C．
10. (2019 内蒙古赤峰市)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（  ）
 
A．30°    B．40°    C．50°    D．60°
【答案】D
【解析】如图，∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴ ＝ ．
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
故选：D．
 
二、填空题
11. (2018 浙江省湖州市)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是     ．
 
【答案】70°
【解析】∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°﹣∠OBD=70°．
故答案为70°．
12. (2019 江苏省宿迁市)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为     ．
【答案】2
【解析】直角三角形的斜边＝ ＝13，
所以它的内切圆半径＝ ＝2．
故答案为2．
13. (2019 山东省青岛市)如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是     °．
 
【答案】54
【解析】连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝108°，
∴∠ABD＝72°，
∴∠F＝∠ABD＝72°，
∴∠FAD＝18°，
∴∠CDF＝∠DAF＝18°，
∴∠BDF＝36°+18°＝54°，
故答案为：54．
 
14. (2019 四川省宜宾市)如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2 ，则⊙O的面积是     ．
 
【答案】16π
【解析】∵∠A＝∠BDC，
而∠ACB＝∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ACB为等边三角形，
∵AC＝2 ，
∴圆的半径为4，
∴⊙O的面积是16π，
故答案为：16π．
15. (2019 重庆市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为     ．（结果保留π）
 
【答案】2 ﹣ π
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝ AB＝1，
由勾股定理得，OB＝ ＝ ，
∴AC＝2，BD＝2 ，
∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π，
故答案为：2 ﹣ π．
三、解答题
16. (2019 四川省巴中市)如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．
①求证：DC是⊙O的切线．
②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．
③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．
 
【解析】①过点O作OG⊥CD，垂足为G，
 
在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴OH＝OG，
∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；
②∵AC＝4MC且AC＝8，
∴OC＝2MC＝4，
MC＝OM＝2，
∴OH＝2，
在直角三角形OHC中，HO＝ CO，
∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，
∴HC＝ ，
S阴影＝S△OCH﹣S扇形OHM＝ CH•OH﹣ OH2＝2 ﹣ ；
③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，
∵PM＝NP，
∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，
∵ON＝OM＝OH，
∠MOH＝60°，
∴∠MNH＝30°，
∴∠MNH＝∠HCM，
∴HN＝HC＝2 ，
即：PH+PM的最小值为2 ，
在Rt△NPO中，
OP＝ONtan30°＝ ，
在Rt△COD中，
OD＝OCtan30°＝ ，
则PD＝OP+OD＝2 ．
17. (2019 内蒙古赤峰市)如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
 
【解析】（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴ ，
∴∠BOC＝∠A，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，OC，
∵ ，
∴∠COD＝ ×180°＝60°，
∵CD∥AB，
∴S△ACD＝S△COD，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝ ＝ ．
 
18. (2019 四川省攀枝花市)（1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心 （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）如图2，设 是该残缺圆 的直径， 是圆上一点， 的角平分线 交 于点 ，过 作 的切线交 的延长线于点 ．
①求证： ；
②若 ， ，求残缺圆的半圆面积．
 
【解析】（1）解：如图1：点 即为所求．
 

（2）①证明：如图2中，连接 交 于 ．
 
 平分 ，
 ，
  ，
 ，
 ， ，
 是切线，
 ，
 ，
 是直径，
 ，
 四边形 是矩形，
 ，
 ．
② 四边形 是矩形，
 ，
在 中， ，
 残缺圆的半圆面积 ．