我爱孩子 新闻 2020中考数学热点专练09二次函数(含解析)

2020中考数学热点专练09二次函数(含解析)

2020年中考数学热点特训09二次函数(含分析)

热点09 二次函数
【命题趋势】
中考中对二次函数的考查除定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题,阅读理解和探究题,二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合题在压轴题中出现的可能性很大.
【满分技巧】
一、二次函数表达式的确定
步骤:
(1)设二次函数的表达式;
(2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;
(3)解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.
二、二次函数的实际应用
 (1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题,应理清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时考虑问题要周全,此类问题一般是运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品所获利润×销售数量”,建立利润与价格之间的函数关系式;
(2)最值:若函数的对称轴在自变量的取值范围内,顶点坐标即为其最值,若顶点坐标不是其最值,那么最值可能为自变量两端点的函数值;若函数的对称轴不在自变量的取值范围内,可根据函数的增减性求解,再结合两端点的函数值对比,从而求解出最值.
三、二次函数的图象与几何图形的关系
将函数知识与几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将问题转化函数模型,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
【限时检测】(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.(山东省滨州市2019年中考数学一模试卷)抛物线y=﹣ +1的顶点坐标为
A.(3,1)    B.(﹣3,1) C.( ,1)    D.(﹣ ,1)
【答案】C
【解析】∵抛物线y=﹣ +1中,2x﹣3=0时,x= ,
故抛物线y=﹣ +1的顶点坐标为:( ,1).
故选C.
2.(四川省成都市都江堰市2019届中考数学一诊试题)对于函数y=–2(x–3)2,下列说法不正确的是
A.开口向下    B.对称轴是  C.最大值为0    D.与y轴不相交
【答案】D
【解析】对于函数y=–2(x–3)2的图象,
∵a=–2
故选项A、B、C正确,选项D错误,
故选D.
3.(2019•福建)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D( ,
y2)、E(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是
A.y1
【答案】D
【解析】∵经过A(m,n)、C(3-m,n),∴二次函数的对称轴x= ,
∵B(0,y1)、D( ,y2)、E(2,y3)与对称轴的距离B最远,D最近,∵|a|>0,
∴y1>y3>y2,故选D.
4.(2019年浙江省金华市婺城区中考数学一模试卷)当x=a和x=b(a≠b)时,二次函数y=2×2﹣2x+3的函数值相等、当x=a+b时,函数y=2×2﹣2x+3的值是
A.0    B.﹣2 C.1    D.3
【答案】D
【解析】∵当x=a或x=b(a≠b)时,二次函数y=2×2﹣2x+3的函数值相等,
∴以a、b为横坐标的点关于直线x= 对称,则 ,∴a+b=1,
∵x=a+b,∴x=1,
当x=1时,y=2×2﹣2x+3=2﹣2+3=3,故选D.
5.(2019年河南省濮阳市中考数学二模试卷)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
A.﹣2或3    B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3    D.1或﹣2或﹣3
【答案】C
【解析】当m=1时,函数解析式为:y=﹣6x+ 是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点,
当m≠1时,函数为二次函数,
∵函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点,
∴62﹣4×(m﹣1)× m=0,
解得,m=﹣2或3,故选C.
6.(黑龙江省哈尔滨市2019中考模拟测试三数学试题)将抛物线 向右平移 个单位长度,再向上平移 个单位长度,得到的抛物线的解析式为
A.     B.  C.     D.
【答案】B
【解析】抛物线y=x2先向右平移2个单位长度,得:y=(x–2)2;再向上平移3个单位长度,得:y=(x–2)2+3.故选B.
7.(2019年湖北省孝感市安陆市、应城市、云梦县、孝昌县四县市中考数学三模试卷)反比例函数 的图象如图所示,则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致是
 
A.     B.
C.     D.
【答案】D
【解析】∵函数 的图象经过二、四象限,
∴k
由图知当x=﹣1时,y=﹣k
∴k>﹣1,
∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下,
对称轴为x=﹣ = ,﹣1<
∴对称轴在﹣1与0之间,
∵当x=0时,y=k2>1.
故选D.
8.(安徽省亳州市蒙城县第三中学2019届中考数学模拟试卷(6月份))已知两点A(﹣5,y1),B(3,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.若y1
A.x0>﹣1    B.x0>﹣5 C.x0<﹣1    D.﹣2
【答案】A
【解析】∵点C(x0,y0)是该抛物线的顶点.且y1
∴a|3﹣x0|,
∴x0>﹣1.故选A.
9.(福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习(二模)数学试题)二次函数y=x2+bx﹣t的对称轴为x=2.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1
A.﹣4≤t
【答案】A
【解析】∵抛物线的对称轴x= =2,
∴b=﹣4,
则方程x2+bx﹣t=0,即x2﹣4x﹣t=0的解相当于y=x2﹣4x与直线y=t的交点的横坐标,
∵方程x2+bx﹣t=0在﹣1
∴当x=﹣1时,y=1+4=5,
当x=3时,y=9﹣12=﹣3,
又∵y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,
∴当﹣4≤t
∴t的取值范围是﹣4≤t
故选A.
10.(天津市河西区2019届一模数学试题)已知抛物线 ( 为常数, ).有下列结论:①抛物线的对称轴为 ;②方程 有两个不相等的实数根;③抛物线上有两点P(x0,m),Q(1,n),若 ,则 ,其中,正确结论的个数为
A.     B.  C.     D.
【答案】D
【解析】∵ =x2–x–a2–a,
∴对称轴为直线x= = .
∴①正确,
∵ x2–x–a2–a=1,
∴x2–x–a2–a–1=0,
∴ =(–1)2–4×1×(–a2–a–1)=1+4a2+4a+4=(2a+1)2+4>0,
∴方程(x+a)(x–a–1)=1有两个不相等的实数根;
∴②正确,
∵P(x0,m),Q(1,n)在抛物线上,
∴m=x02–x0–a2–a,n=12–1–a2–a=–a2–a,
∵m
∴x02–x0–a2–a<–a2–a,
∴x02–x0
∴x0(x0–1)
∵x0>x0–1,
∴x0>0且x0–1
∴③正确,
综上所述:正确的结论有①②③,共3个,
故选D.
11.(2019年湖北省随州市随县五校联考中考数学模拟试卷(6月份))如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,其部分图象如图所示则下列结论:①4a﹣b=0;②c3a;④4a﹣2b>at2+bt(t为实数);⑤点(﹣ ,y1),(﹣ ,y2),( )是该抛物线上的点,则y2
 
A.1    B.2 C.3    D.4
【答案】C
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2,
∴4a﹣b=0,所以①正确;
∵与x轴的一个交点在(﹣3,0)和(﹣4,0)之间,
∴由抛物线的对称性知,另一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c
∵由②知,x=﹣1时y>0,且b=4a,
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,
所以③正确;
由函数图象知当x=﹣2时,函数取得最大值,
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c,
即4a﹣2b≥at2+bt(t为实数),故④错误;
∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x=﹣2,
∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大,
∴y2>y1>y3,故⑤错误,故选C.
二、填空题
12.(2019•荆州)二次函数 的最大值是__________.
【答案】7
【解析】 ,
即二次函数 的最大值是7,
故答案为:7.
13.(2019年河南省许昌市中考二模数学试题)已知函数y=﹣x2+2x﹣2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是__________.(填“<”“>”或“=”)
【答案】>
【解析】y=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1,
对称轴x=1,
∵A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,
∴点A与B在对称轴的右侧,
∵–1
∴x>2时,y随x的增大而减小,
∴y1>y2,
故答案为:>.
14.(2019年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷(5月份))已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,且经过点P(3,1),则a+b+c的值为__________.
【答案】1
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,
∴P(3,1)对称点坐标为(1,1),
∴当x=1时,y=1,
即a+b+c=1,
故答案为:1.
15.(2019年河南省中考数学信息卷)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为__________.
【答案】(2,5)
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,方程ax2+bx+c=5的一个根是2,
∴当x=2时,y=ax2+bx+c=5,
∴抛物线的顶点坐标是(2,5).
故答案为:(2,5).
16.(吉林省德惠市第三中学2019届九年级5月质量监测数学试题)将抛物线y=2(x﹣1)2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为__________.
【答案】y=﹣2(x﹣1)2+3
【解析】抛物线y=2(x﹣1)2+3的顶点坐标为(1,3),
由于抛物线y=2(x﹣1)2+3绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反,
则所得抛物线解析式为y=﹣2(x﹣1)2+3,
故答案为:y=﹣2(x﹣1)2+3.
17.(2019•襄阳)如图,若被击打的小球飞行高度 (单位:m)与飞行时间 (单位:s)之间具有的关系为 ,则小球从飞出到落地所用的时间为__________s.
 
【答案】4
【解析】依题意,令 得:∴ ,
得: ,解得: (舍去)或 ,
∴即小球从飞出到落地所用的时间为 ,故答案为:4.
三、解答题
18.(2019•湖州)已知抛物线 与 轴有两个不同的交点.
(1)求 的取值范围;
(2)若抛物线 经过点 和点 ,试比较 与 的大小,并说明理由.
【解析】(1) ,
由题意,得 ,
∴ ,
∴ 的取值范围是 .
(2) ,理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线 ,
又∵ ,
∴当 时, 随 的增大而增大,
∵ ,∴ .
19.(天津市红桥区2019届九年级中考三模数学试题)已知抛物线 .
(1)若该抛物线与x轴有公共点,求c的取值范围;
(2)设该抛物线与直线 交于M,N两点,若 ,求C的值;
(3)点P,点Q是抛物线上位于第一象限的不同两点, 都垂直于x轴,垂足分别为A,B,若 ,求c的取值范围.
【解析】(1)∵抛物线 与x轴有交点,
∴一元二次方程 有实根.
 ,即 .解得 .
(2)根据题意,设
由 ,消去y,得 ①.
由 ,得 .
∴方程①的解为
 ,
 ,解得 .
(3)设点P的坐标为 ,则点Q的坐标为 ,且 ,
 ,两式相减,得 ,即
 ,即
 ,其中
由 ,即 ,得 .
当 时, ,不合题意.
又 ,得 .
∴c的取值范围是 .
20.(2019•梧州)我市某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;
(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润.
【解析】(1)由题意,y=(x-5)(100- ×5)=-10×2+210x-800,
故y与x的函数关系式为:y=-10×2+210x-800.
(2)要使当天利润不低于240元,则y≥240,
∴y=-10×2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5=240,
解得,x1=8,x2=13,
∵-10
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13.
(3)∵每件文具利润不超过80%,
∴ ,得x≤9,
∴文具的销售单价为6≤x≤9,
由(1)得y=-10×2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5,
∵对称轴为x=10.5,
∴6≤x≤9在对称轴的左侧,且y随着x的增大而增大,
∴当x=9时,取得最大值,此时y=-10(9-10.5)2+302.5=280,
即每件文具售价为9元时,最大利润为280元.
21.(河南省实验中学2019年中招模拟大联考(三)数学试题)如图,已知抛物线经过点A(–1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°,得到△A1O1C1,点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.
 
【解析】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
将点A(–1,0),B(4,0),C(0,2)代入解析式,
∴ ,∴ ,
∴y=– + x+2.
(2)∵点C与点D关于x轴对称,
∴D(0,–2).
设直线BD的解析式为y=kx–2.
∵将(4,0)代入得:4k–2=0,
∴k= .
∴直线BD的解析式为y= x–2.
当P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q(–1,0);
当BQ⊥BD时,△BQM是直角三角形,
则直线BQ的直线解析式为y=–2x+8,
∴–2x+8=– + x+2,可求x=3或x=4(舍),
∴x=3;
∴Q(3,2)或Q(–1,0).
(3)两个和谐点;
AO=1,OC=2,
设A1(x,y),则C1(x+2,y–1),O1(x,y–1),
①当A1、C1在抛物线上时,
 
∴ ,
∴ ,
∴A1的横坐标是1;
当O1、C1在抛物线上时,
 
 ,
∴ ,
∴A1的横坐标是 .

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