北京京山学校2019-2020学年第二学期八年级数学期末试卷(无答案)

北京景山学校 2019~2020 学年第二学期
八年级数学期末试卷

班级

姓名

学号

成绩

注  意
事  项 1、 请用黑色字迹签字笔答卷，画图用 2B 铅笔．
2、 认真审题，字迹工整，卷面整洁．
3、 本卷共 8 页，共有三道大题，28 道小题.
4、 本卷满分 100 分，考试时间 100 分钟.
一、选择题

1．反比例函数 y  2 的图象分布的象限是
x
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 B
2.如图， △ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cosBAC 的值为 

A． 3
4 B． 2
5 C． 3
5 4
D．
5
                  A C
3. 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（  ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍
4.如图，平行四边形 ABCD，F 为 BC 的中点，延长 AD 至点 E，使 DE:AD＝1:3，连接
EF 交 DC 于点 G，则S△DEG:S△CFG 等于
A． 4:9 B． 2:3 C．9:4 D． 3:2
5.如图所示，在边长为 1 的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是
A．点O B．点 P C．点 M D．点N

第 5 题

6.一次函数 y1

 ax  b (a  0) 与反比例函数 y2

 k (k  0) 在同一平面直角坐标系 xOy 中的图象如图所示，当
x

y1   y2 时， x 的取值范围是

A． 1  x  3 B． x  1或0  x  3
C． x  1或 x  3 D． 1  x  0 或 x  3

1)

第 7 题

7.如图，矩形 ABCD 是由三个全等矩形拼成的，AC 与 DE、EF、FG、HG、HB 分别交于点 P、Q、K、M、N，设
△EPQ、△GKM、△BNC 的面积依次为 S1、S2、S3．若 S1+S3=30，则 S2 的值为
A．6 B．8 C．10 D．12
8.在平面直角坐标系 xOy 中，将横纵坐标之积为 1 的点称为“好点”，则函数 y | x | 3 的图象上的“好点”共有
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、填空题
9. 如果，那么锐角α＝  °．
10.已知反比例函数的表达式为y＝，它的图象在各自象限内具有y随x的增大而增大的特点，则k的取值范
围是             
11 如图，在△ABC 中，点 D，E  分别在边 AB，AC 上，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是 ．

12．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y=   ?   ( k＞0 )的图象上，
?

则 y1，y2，y3 的大小关系是 ．

13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为          尺．  
（1 丈=10 尺，1 尺=10 寸） 
A B
14．如图所示的网格是正方形网格，△ ABC 和△ CDE 的顶点都是网格线交点，那

么∠ BAC  ∠ CDE  °．
C

D E

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为   ．

16．如图，分别过第二象限内的点 P 作 x，y 轴的平行线，与 y，
x 轴分别交于点A，B，与双曲线 y  6 分别交于点 C，D.
x
下面三个结论，

①存在无数个点 P 使S△AOC  S△BOD ； 

②存在无数个点 P 使S△POA  S△POB ； 

③存在无数个点 P 使S四边形OAPB  S△ACD .
所有正确结论的序号是       .

三、解答题 
17．计算 3tan 30  4 cos 45  2sin 60．
4
18．如图，在△ABC 中，∠B=30°，tanC=
3

，AD⊥BC 于点 D.  若 AB=8，求 BC 的长．

19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E 是 AD 上一点， 且 BE=BD．
（1）求证：△ABE ∽△ACD ；
（2）若 BD=1，CD=2，求 AE 的值．
AD

20.如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）只有一个公共点A（1，﹣2）．
（1）求k与a的值；
（2）在（1）的条件下，如果直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）
有两个公共点，直接写出b的取值范围．
21．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点 A 、 B 相距 2 米，探测线与该地面的夹角分别是30 和60 （如图所示），试确定生命所

在点C 的深度．（参考数据：

 1.414 ，

 1.732，结果精确到0.1)

22. 在直角三角形中，除直角外的5 个元素中，已知 2 个元素（其中至少有 1 个是边），就可以求出其余的 3 个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢?  思考并解答下列问题：
（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是 ．

     37° 60° 
12

C
（2）如图⑤，在△ABC 中，已知A  37°， AB  12 ， AC  10 ，能否求出 BC 的
长度？如果能，请求出 BC 的长度；如果不能，请说明理由. A B
（参考数据： sin 37° 0.60 ， cos 37° 0.80 ， tan 37° 0.75 ）

23.在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y  k (x  0) 的图象和△ABC 都在第一象限内，AB  AC     5 ，BC  / / x 轴，
x 2
且 BC  4 ，点 A 的坐标为(3,5) ．
（1）若反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 B，求此反比例函数的解析式；
x
（2）若将△ABC 向下平移m （m>0）个单位长度， A ，C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m 的值．

24．阅读下面材料：
学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集， 例如求不等式

x  3  4 的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线  y ＝x－3 与函数 y2    4 的图象（如图 1），观察图象

x x

可知：它们交于点 A(－1，－4)，B(4，1)．当－1＜x＜0，或 x＞4 时，y ＞y ，即不等式 x  3  4 的解集为－

1 2

1＜x＜0，或 x＞4．

小东根据学习以上知识的经验，对求不等式 x3  3×2  x  3  0 的解集进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： 
(1)将不等式按条件进行转化 
当 x＝0 时，原不等式不成立； 

当 x＞0 时，原不等式转化为 x2  3x 1  3 ； 
x

当 x＜0 时，原不等式转化为 ； 
(2)构造函数，画出图象 

设 y3

 x2  3x 1， y

 3 ，在同一坐标系(图 2)中分别画出这两个函数的图象． 
x

(3)借助图象，写出解集 
观察所画两个函数的图象， 确定两个函数图象交点的横坐标， 结合(1) 的讨论结果，可知： 不等式

x3   3×2   x  3  0 的 解 集 为                    ． 

25．阅读下面材料：
小 军 遇 到 这 样 一 个 问 题 ： 如 图   1 ， 在 △ A B C   中 ， A B = A C ， P   是 △ A B C  内 一 点 ， 
∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°，AP=1，求 BP 的长. 

小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得 BP 的长.
请回答：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠PCB=∠PBA，
∴∠PCA= .
∵∠PAC=∠PCB，
∴△ACP∽△CBP.

∵∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°.
∴ AC = .
CB
∵AP=1，
∴PC= .
∴PB= .
参考小军的思路，解决问题：
如图 2，在△ABC 中，AB=AC，P 是△ABC 内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°，求 AP 的值；
BP

26．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0，2)，正方形 OABC 的顶点 B 在函数 y   k (k ≠ 0，x
x
象上，直线l  ： y  x  b 与函数 y  k (k ≠ 0，x
x
（1）求 k 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当一次函数 y  x  b 的图象经过点 A 时，直接写出△DCE 内的整点的坐标；
②若△DCE 内的整点个数恰有 6 个，结合图象，直接写出 b 的取值范围．

y

B A

C O x

27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜AB）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．

（1）①依题意补全图形．
②若α＝60°，则∠CAF＝  °；＝  ；
（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．

 

28．在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么
sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝

为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：
sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，
（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是 cosα ；
（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，则sinα+cosα＝  ；
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝，则tanα  ；
（4）若0°≤α≤90°，则sinα+cosα的取值范围是  ．