我爱孩子 新闻 2020-2021学年初二数学上册同步讲练:角平分线的性质讲练

2020-2021学年初二数学上册同步讲练:角平分线的性质讲练

2020-2021学年第二天的第一卷数学是同步的:角平分线的性质

2020-2021 学年初二数学上册同步讲练:角平分线的性质讲练

一、知识点

1.角的平分线的作法;

2.角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;

3.证明一个几何中的命题,一般步骤:

①明确命题中的已知和求证;

②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;

③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程;

4.性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;

二、考点点拨与训练

考点 1:角平分线性质定理及其应用

典例:(2020·河北省初二期末)如图,在

ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点 B,C 重合),连结 AD

(1)如图 1,当点 D 是 BC 边上的中点时,则 S△

ABD:S△

ACD=_________(直接写出答案)

(2)如图 2,当 AD 是∠BAC 的平分线时,若 AB=m,AC=n,S△

ABD:S△

ACD=_________ (用含 m,n 的代数式

表示).

(3)如图 3,AD 平分∠BAC,延长 AD 到 E,使得 AD=DE,连结 BE,如果 AC=2,AB=4,S△

BDE =6,求

ABC

的面积.1

2

1

2

1

2

1

2

【答案】(1)1:1;(2)m∶n;(3)9

【解析】

解:(1)过 A 作 AE⊥BC 于 E,

∵点 D 是 BC 边上的中点,

∴BD=DC,

∴SABD:S△

ACD=( ×BD×AE):( ×CD×AE)=1:1,

故答案为:1:1;

(2)过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,

∵AD 为∠BAC 的角平分线,

∴DE=DF,

∵AB=m,AC=n,

∴SABD:S△

ACD=( ×AB×DE):( ×AC×DF)=m:n;

(3)∵AD=DE,

∴由(1)知:S△

ABD:S△

EBD=1:1,

∵S△

BDE=6,

∴S△

ABD=6,

∵AC=2,AB=4,AD 平分∠CAB,

∴由(2)知:S△

ABD:S△

ACD=AB:AC=4:2=2:1,

∴S△

ACD=3,

∴S△

ABC=3+6=9,15

2

20

3

12

5

12

5

故答案为:9.

方法或规律点拨

本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式,能根据(1)(2)得出规律是解此题的关键.

巩固练习

1.(2019·广东省深圳外国语学校初一期末)如图,在 Rt

ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AD 平分

∠CAB 交 BC 于 D 点,E,F 分别是 AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为( )

A. B. C.3 D.

【答案】D

【解析】解:在 AB 上取一点 G,使 AG=AF

∵在 Rt

ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4

∴AB=5,

∵∠CAD=∠BAD,AE=AE

∴△AEF≌△AEG(SAS)

∴FE=FG

∴CE+EF=CE+EG

则最小值时 CG 垂直 AB 时,CG 的长度

CG=

故选 D.AOB PA OA  PB OB 

PA PB 

PO PO

PA PB

 

 

   APO BPO

Rt ABC     C 90 A

AC AB M N M N MN P

AP BC D CD  4 AB 15 ABD

2.(2020·山东省济南外国语学校初二期中)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为用 A、

B.下列结论中不一定成立的是( )

A.PA=PE B.PO 平分∠APB C.AB 垂直平分 OP D.OA=OB

【答案】C

【解析】解:∵OP 平分 , ,

∴ ,选项 A 正确;

在 Rt

AOP 和 Rt

BOP 中,

∴Rt

AOP Rt

BOP

∴ ,OA=OB,选项 D 正确;

∴PO 平分∠APB,选项 B 正确;

由等腰三角形三线合一的性质,OP 垂直平分 AB,AB 不一定垂直平分 OP,选项 C 错误.

故选:C.

3.(2020·辽宁省初三其他)如图,在 中, ,以顶点 为圆心,适当长为半径画弧,分

别交 , 于点 , ,再分别以点 , 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧交于点 ,

作射线 交边 于点 ,若 , ,则 的面积是 ( )

A.15 B.30 C.45 D.60

【答案】B

【解析】解:作 DE⊥AB 于 E,

由基本尺规作图可知,AD 是

ABC 的角平分线,

∵∠C=90°,DE⊥AB,1

2

1

2

Rt ABC  ∠B  90 A

AB AC 、 D E, D E 、 1

2

DE F AF

BC BG AC   1, 4 ACG

1

3

2

2 5

2

∴DE=CD=4,

∴△ABD 的面积= AB×DE= ×15×4=30,

故选:B.

4.(2020·南通市八一中学初一月考)如图,a、b、c 三条公路的位置相交成三角形,现决定在三条公路之

间建一购物超市,使超市到三条公路的距离相等,则超市应建在( )

A.三角形两边高线的交点处 B.三角形两边中线的交点处

C.∠α 的平分线上 D.∠α 和∠β 的平分线的交点处

【答案】D

【解析】∵如图,要建一超市到 a、b、c 三条公路的距离相等,

∴该超市是

ABC 的内心,

∴超市应该建在∠α 和∠β 的平分线的交点处.

故选:D.

5.(2020·河南省初三二模)如图,在 中, ,以点 为圆心,适当长为半径画弧,分别

交 于点 ,再分别以点 为圆心,大于 为半径画弧,两弧交于点 ,作射线 交

边 于点 ,则 的面积是( )

A. B. C. D.

【答案】CAG BAC

G AC BG G AC 1

ACG

1
4 1 2

2

   

【解析】解:由作法得 平分 ,

点到 的距离等于 的长,即 点到 的距离为 ,

所以 的面积 .

故选:C.

6.(2020·黑龙江省初二期末)如图所示,在

ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于点 D,如

果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于( )

A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm

【答案】B

【解析】解:∵△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于点 D,

∴EC=DE,

∴AE+DE=AE+EC=3cm.

故选:B.

7.(2019·内蒙古自治区初二期中)如图,AD 是

ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,

ADG

AED 的面积分别为 50 和 39,则

EDF 的面积为( )

A.11 B.5.5

C.7 D.3.5

【答案】B

【解析】作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN⊥AC,1
11

2

1

2

1

2

3

5

1

2

∵DE=DG,

∴DM=DE,

∵AD 是

ABC 的角平分线,DF⊥AB,

∴DE=DN,

∴△DEF≌△DNM,

∵△ADG 和

AED 的面积分别为 50 和 39,

∴S△

MDG=S△

ADG﹣S△

AMG=590﹣39=11,

S△

DNM=S△

DEF= S△

MDG= =5.5

8.(2019·陕西省交大附中分校初一期末)如图,在

ABC 中,E 为 AC 的中点,AD 平分∠BAC,BA:CA=2:

3,AD 与 BE 相交于点 O,若

OAE 的面积比

BOD 的面积大 1,则

ABC 的面积是( )

A.8 B.9 C.10 D.11

【答案】C

【解析】解:作 DM⊥AC 于 M,DN⊥AB 于 N.

∵AD 平分∠BAC,DM⊥AC 于 M,DN⊥AB 于 N,

∴DM=DN,

∴S△

ABD:S△

ADC=BD:DC= •AB•DN: •AC•DM=AB:AC=2:3,

ABC 的面积为 S.则 S△

ADC= S,S△

BEC= S,3

5

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

∵△OAE 的面积比

BOD 的面积大 1,

∴△ADC 的面积比

BEC 的面积大 1,

∴ S- S=1,

∴S=10,

故选 C.

9.(2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考)在 Rt

ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=8,AC=6.点 I 为

ABC

三条角平分线的交点,则点 I 到边 AB 的距离为__________

【答案】2

【解析】∵在

ABC 中,∠C=90°,BC=8,CA=6,AB=10,

∵点 I 为

ABC 的三条角平分线的交点,

∴IE=IF=ID,

设 IE=x,

∵S△

ABC=S△

IAB+S△

IAC+S△

ICB,

∴ ×6×8= IF×10+ IE×6+ ID×8,

∴5x+3x+4x=24,

∴x=2,

∴点 I 到 AB 的距离等于 2.

故答案为:2.

10.(2019·湖北省初二期中)如图,∠B=∠C=90°,DM 平分∠ADC,AM 平分∠DAB,CB=8,则点 M 到

BC 的距离_______.1
8 4

2

BM   

ABC AB BC CA 、 、 40 50 60 、 、

O : : ABO BCO CAO S S S

4:5: 6

【答案】4

【解析】如图,过点 M 作 ME⊥AD 于 E,

∵AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC,∠B=∠C=90°,

∴BM=ME,CM=EM,

∴BM=CM,

∵BC=8,

∴ ,

∴ME=4,

即点 M 到 AD 的距离为 4.

故答案为:4.

11.(2020·上饶市广信区第七中学初二月考)如图, 的三边 的长分别为 ,

其三条角平分线交于点 ,则 =______.

【答案】

【解析】解:过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,作 OE⊥AC 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F,1

2

1

2

1

2

4:5: 6

4:5: 6

1

2

1

2

∵OA,OB,OC 是

ABC 的三条角平分线,

∴OD=OE=OF,

∵△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60,

∴S△

ABO:S△

BCO:S△

CAO=( AB•OD):( BC•OF):( AC•OE)

=AB:BC:AC=40:50:60= .

故答案为: .

12.(2019·眉山东辰国际学校初一期末)如图,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 于 F,AB=6,BC

=8.若 S△

ABC=21,则 DE=________.

【答案】3

【解析】∵BD 平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,

∴DE=DF,

∵S△

ABC=21,AB=6,BC=8,

∴ ×6×DE+ ×8×DF=21,

即 7DE=21,

∴DE=3.

故答案为:3.

13.(2019·深圳市明德外语实验学校初二期中)如图:在

ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE

⊥AB 于 E,F 在 AC 上,BD=DF.

(1)求证:CF=EB.

(2)若 AF=2,EB=1,求 AB 的长.OM AOB P OM

OA OB

【答案】(1)证明见解析;(2)4

【解析】(1)证明:∵ AD 是∠BAC 的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,

∴ DC=DE,

∵ BD=DF,

∴Rt

DCF≌Rt

DEB(HL),

∴CF=EB;

(2)由(1)知 CF=EB=1,

∴AC=AF+FC=3,

又∵∠C=∠AED=90°,∠CAD=∠EAD,AD=AD,

∴△ACD≌△AED(AAS)

∴AC=AE=3,

∴AB=AE+EB=3+1=4.

14.(2020·凌海市石山镇初级中学初一月考)已知 是 的平分线,点 是射线 上一点,点 C、

D 分别在射线 、 上,连接 PC、PD.PC OA  PD OB 

PC PD 

CFP DEP

FCP PDE

PF PE

  

  

 

(1)发现问题

如图①,当 , 时,则 PC 与 PD 的数量关系是________.

(2)探究问题

如图②,点 C、D 在射线 OA、OB 上滑动,且∠AOB=90°,∠OCP+∠ODP=180°,当 时,PC 与

PD 在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.

【答案】(1)PC=PD;(2)PC=PD 仍然成立.理由见解析.

【解析】解:(1)∵OM 是∠AOB 的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,

∴PC=PD,

故答案为:PC=PD;

(2)PC=PD 仍然成立.理由如下:

过 P 分别作 PE⊥OB 于 E,PF⊥OA 于 F,

∴∠CFP=∠DEP=90°,

∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE=PF.

∵∠OCP+∠ODP=180°,又∠ODP+∠PDE=180°,

∴∠OCP=∠PDE,即∠FCP=∠PDE,

CFP 和

DEP 中,

,∴△CFP≌△DEP(AAS),

∴PC=PD.

考点 2:角平分线性质定理的逆定理及其应用

典例:(2020·四川省初二期中)如图,在

ABC 中,∠BAC 的平分线与 BC 的中垂线 DE 交于点 E,过点 E

作 AC 边的垂线,垂足为 N,过点 E 作 AB 延长线的垂线,垂足为 M.

(1)求证:BM=CN;

(2)若,AB=2,AC=8,求 BM 的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)3.

【解析】证明:连接 BE,CE,如图,

∴DE 是 BC 的垂直平分线,

∴BE=CE,

∵AE 是∠BAC 的平分线,EM⊥AB,EN⊥AC,

∴EM=EN,

在 Rt

BME 和 Rt

CNE 中,

{
??

??

??

??

∴Rt

BME≌Rt

CNE(HL),

∴BM=CN

(2)由(1)得:EM=EN,

在 Rt

AME 和 Rt

ANE 中,{
??

??

??

??

∴Rt

AME≌Rt

ANE(HL),

∴AM=AN,又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN

∴AB+BM=AC-CN

∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN

∴BM=CN =3

方法或规律点拨

本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质,解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用.

巩固练习

1.(2020·福州四十中金山分校初二月考)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全

相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线 OB,另一把直尺压住射线 OA 并

且与第一把直尺交于点 P,小明说:“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线.”他这样做的依据是( )

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

【答案】A

【解析】如图所示:过两把直尺的交点 C 作 CF⊥BO 与点 F,由题意得 CE⊥AO,ABC ADE      BAC DAE 90 BD CE ,

AF BD CE  BF CF  AF CAD    AFE 45

∵两把完全相同的长方形直尺,

∴CE=CF,

∴OP 平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),

故选 A.

2.(2020·湖北省中考真题)如图,已知 和 都是等腰三角形, ,

交于点 F,连接 ,下列结论:① ;② ;③ 平分 ;④ .其

中正确结论的个数有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

【答案】C

【解析】解:∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE

BAD 和

CAE 中

AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE

∴△BAD≌

CAE

∴BD=CE

故①正确;1 1

2 2

BD AM CE AN   

AF

AF BF CF 

   AFE 45

BAD≌

CAE

∴∠ABF=∠ACF

∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF

∴∠ACF+∠BGA=90°,

∴∠BFC=90°

故②正确;

分别过 A 作 AM⊥BD、AN⊥CE 垂足分别为 M、N

∵△BAD≌

CAE

∴S△

BAD=S△

CAE,

∵BD=CE

∴AM=AN

∴ 平分∠BFE,无法证明 AF 平分∠CAD.

故③错误;

∵ 平分∠BFE,

故④正确.ABC    C 90 O ABC

OD BC OE AC  OF AB  D E F AB 10cm BC  8cm

CA  6cm OF 

OA OB OC

O ABC OD BC OE AC  OF AB 

   OD OE OF

OF x  OD OE x  

AOC BOC AOB ACB S S S S       


1 1 1 1 6 8 10 6 8

2 2 2 2

x x x      x  2

OF 2cm

2cm

故答案为 C.

3.(2020·四川省正兴中学初二二模)已知,如图, 中, ,点 为 的三条角平分

线的交点, 垂直 , , ,点 、 、 分别是垂足,且 , ,

,则 __________.

【答案】2cm

【解析】解:连接 、 、 ,如图,

点 为 的三条角平分线的交点, 垂直 , , ,

设 ,则 ,

,解得 ,

即 的长为 .

故答案为: .

4.(2020·甘肃省平川区四中初二期中)如图,在 Rt

ABC 中,∠A=90°,点 D 为斜边 BC 上一点,且 BD=BA,

过点 D 作 BC 的垂线交 AC 于点 E.求证:点 E 在∠ABC 的角平分线上.BE BE

{

BA BD

BC DC

CE CF

 

 

【答案】证明见解析.

【解析】证明:连接 BE,

∵ED⊥BC,

∴∠BDE=∠A=90°.

在 Rt

ABE 和 Rt

DBE 中

∵ ,

∴Rt

ABE≌Rt

DBE(HL).

∴∠ABE=∠DBE.

∴点 E 在∠ABC 的角平分线上.

5.(2020·甘州区南关学校初二月考)如图,已知 AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,且 BC=CD.

(1)求证:

BCE≌△DCF;

(2)求证:AB+AD=2AE.

【答案】详见解析

【解析】(1)证明:∵AC 是角平分线,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,

∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°,

在 Rt

BCE 和 Rt

DCF 中,

∴△BCE≌△DCF;

(2)解:∵CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,

∴∠F=∠CEA=90°,AC AC

CE CF

 

 

{

FAD EAD

AD AD

ADB ADC

  

  

在 Rt

FAC 和 Rt

EAC 中, ,

∴Rt

FAC≌Rt

EAC,

∴AF=AE,

∵△BCE≌△DCF,

∴BE=DF,

∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.

6.(2019·云龙县第三中学初二期中)如图,BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F,BE 与 CF 交于点 D,DE=DF,

连接 AD.

求证:(1)∠FAD=∠EAD;

(2)BD=CD.

【答案】(1)证明见解析;证明见解析.

【解析】证明:(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB,DE=DF,

∴AD 是∠BAC 的平分线,

∴∠FAD=∠EAD;

(2)∵

ADF 与

ADE 是直角三角形,DE=DF,AD=AD,

∴Rt

ADF≌Rt

ADE,

∴∠ADF=∠ADE,

∵∠BDF=∠CDE,

∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE,

即∠ADB=∠ADC,

ABD≌

ACD 中,

,BAC BF AC  CE AB  BF CE

BD CD  BAC

BF AC  CE AB 

BED CFD

BDE CDF

BD CD

  

  

 

BAC

ABC

B a BA BC D E

ABD≌

ACD,

∴BD=CD.

7.(2018·江苏省初二期中)已知:如图 中, , ,垂足分别为 F、E, 交

于点 D, ,求证:D 点在 的平分线上.

【答案】证明见解析

【解析】

证明:连接 AD,

∵ , ,

∴∠BED=∠CFD=90°,

BDE 与

CDF 中,

∴△BDE≌△CDF(AAS),

∴DE=DF,

∴AD 是∠BAC 的角平分线,

∴D 点在 的平分线上.

考点 3:与角平分线有关的尺规作图

典例:(2020·河北省中考真题)如图 1,已知 ,用尺规作它的角平分线.

如图 2,步骤如下,

第一步:以 为圆心,以 为半径画弧,分别交射线 , 于点 , ;D E b ABC P

BP BP

a b a  0

1

2

b DE 

a b a  0

1

2

b DE 

B BA BC D E

a  0

D E 1

2

DE ABC P

1

2

b DE 

BP BP

a  0

1

2

b DE 

OC AOB

SSS SAS ASA AAS

第二步:分别以 , 为圆心,以 为半径画弧,两弧在 内部交于点 ;

第三步:画射线 .射线 即为所求.

下列正确的是( )

A. , 均无限制 B. , 的长

C. 有最小限制, 无限制 D. , 的长

【答案】B

【解析】第一步:以 为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线 , 于点 , ;

∴ ;

第二步:分别以 , 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧在 内部交于点 ;

∴ 的长;

第三步:画射线 .射线 即为所求.

综上,答案为: ; 的长,

故选:B.

方法或规律点拨

本题主要考查了基本作图,解决问题的关键是掌握作角平分线的方法.

巩固练习

1.(2020·广西壮族自治区初三其他)如图尺规作业, 为 的平分线,这样的作法依据是( )

A. B. C. D.

【答案】ACE CD

OC OC

OE OD

 

 

 

AOB OA OB

OD OE OD OE  D E

1

2

DE C

OC CE CD

【解析】连接 CE、CD,

OEC 和

ODC 中,

∴△OEC≌△ODC(SSS),

故选:A.

2.(2020·河南省初二月考)如图,

ABC 中,点 E,F,G 分别在 BC,AC,AB 上,AE 与 BF 交于点 O,

且点 O 在 CG 上,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是( )

A.AE,BF 是

ABC 的角平分线 B.点 O 到

ABC 三边的距离相等

C.CG 也是

ABC 的一条角平分线 D.AO=BO=CO

【答案】D

【解析】A、由尺规作图的痕迹可知:AE、BF 是

ABC 的内角平分线,正确;

B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得:点 O 到

ABC 三边的距离相等,正确;

C、根据三角形三条角平分线交于一点,且点 O 在 CG 上,所以 CG 也是

ABC 的一条内角平分线,正确

D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等,所以选项 D 不正确;

故选 D.

3.(2020·新疆维吾尔自治区初三其他)如图,在 中,尺规作图如下:在射线 、 上,分别截

取 、 ,使 ;分别以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧,两弧相交于点 ;

作射线 ,连结 、 .下列结论不一定 ...成立的是( )OE EC  CE CD     OEC ODC    ECO DCO

   OEC ODC    ECO DCO OE EC 

1

2

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解:根据题意,得:OE=OD,CE=CD,OC=OC,∴

OEC≌△ODC(SSS),

∴ , ,∴B、C、D 三项是正确的,而 不一定成立.

故选 :A.

4.(2020·广东省仙田外国语学校初一期中)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:

①在 OA,OB 上分别截取线段 OD,OE,使 OD=OE;

②分别以 D,E 为圆心,以大于 DE 的长为半径画弧,在∠AOB 内两弧交于点 C;

③作射线 OC.

则∠AOC 的大小为_________.

【答案】20°.

【解析】根据画图的方法可知:OC 是∠AOB 的角平分线,

∴∠AOC=40°÷2=20°.

故答案是:20°.

5.(2020·内蒙古自治区初二期末)如图,在 Rt

ABC 中,∠C=90°,以点 A 为圆心,任意长为半径画弧,

分别交 AC、AB 于点 M、N,再分别以 M、N 为圆心,任意长为半径画弧,两弧交于点 O,作射线 AO 交 BC

于点 D,若 CD=3,P 为 AB 上一动点,则 PD 的最小值为_____.AOB

AOB

1

2

MN AOB

SSS SAS AAS ASA

AOB

AOB

【答案】3

【解析】根据作图的过程可知,AD 是∠BAC 的平分线.

根据角平分线上的点到角的两边距离相等,又因为点到直线的距离,垂线段最短可得 PD 最小=CD=3.

故答案为:3.

6.(2020·湖南省中考真题)人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线的方

法:

已知:

求作: 的平分线

做法:(1)以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,

(2)分别以点 M,N 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧在 的内部相交于点 C

(3)画射线 OC,射线 OC 即为所求.

请你根据提供的材料完成下面问题:

(1)这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号).

① ② ③ ④

(2)请你证明 OC 为 的平分线.

【答案】(1)①;(2)证明见解析

【解析】(1)根据作图的过程知道:OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理 SSS 可以

证得

EOC≌△DOC,从而得到 OC 为 的平分线;

故答案为:①;OM ON

OC OC

CM CN



AOB

(2)如图,

连接 MC、NC.

根据作图的过程知,

MOC 与

NOC 中,

∴△MOC≌△NOC(SSS),

∠AOC=∠BOC,

∴OC 为 的平分线.

7.(2020·云南省初三二模)如图所示,在

ABC 中,按以下步骤作图:①以点 B 为圆心,任意长为半径作

弧,分别交 BA、BC 于点 M、N;再以点 N 为圆心,MN 长为半径作弧交前面的弧于点 F,作射线 BF 交 AC

的延长线于点 E.

②以点 B 为圆心,BA 长为半径作弧交 BE 于点 D,连接 CD.

请你观察图形,解答下列问题:

(1)求证:

ABC≌△DBC;

(2)若∠A=100°,∠E=50°,求∠ACB 的度数.

【答案】(1)见解析;(2)∠ACB=65°.

【解析】(1)如图所示,连接 MN,NF,1

2

A B C D

AB CD AB E EF CEB

   AEC 100 CEF

   CEF 40 .

AB CD

由作图可得,BM=BF,MN=FN,BN=BN,

∴△BMN≌△BFN(SSS),

∴∠ABC=∠DBC,

又∵AB=DB,BC=BC,

∴△ABC≌△DBC(SAS);

(2)∵∠A=100°,∠E=50°,

∴∠ABE=30°,

∴∠ABC= ∠ABD=15°,

∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°.

8.(2019·广西壮族自治区初一期末)如图,平面内有 , , , 四点,请按要求完成:

(1)尺规作图:连接 ,作射线 ,交 于点 ,作射线 平分 .须保留作图痕迹,且用

黑色笔将作图痕迹描黑,不写作法和证明.

(2)在(1)的条件下,若 ,求 的度数.

【答案】(1)作图见解析;(2)

【解析】解:(1)作线段 ,作射线 ,   AEC 100 EF CEB

1 1 (180 ) (180 100 )

2 2

          CEF AEC

  40

ABC D AC AB AD 

BAC AP BC P

PD PD PB 

如图,即为所做图形;

(2) ,射线 平分 ,

9.(2020·佛山市南海外国语学校初三月考)如图,已知在 中,点 在边 上,且 .

(1)用尺规作图法,作 的平分线 ,交 于点 ;(保留作图痕迹,不要求写作法)

(2)在(1)的条件下,连接 .求证: .

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】(1)如图,射线 AP 为所求作的图形;

(2)∵CP 是∠ACB 的平分线,如图:1 2

AB AD

AP AP

 

   

 

∴∠1=∠2,

ABP 和

ADP 中,

∴△ABP

ADP(SAS),

∴PD=PB.

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