2020-2021学年第二天的第一卷数学是同步的:角平分线的性质
2020-2021 学年初二数学上册同步讲练:角平分线的性质讲练
一、知识点
1.角的平分线的作法;
2.角的平分线的性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等;
3.证明一个几何中的命题,一般步骤:
①明确命题中的已知和求证;
②根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程;
4.性质定理的逆定理:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上;
二、考点点拨与训练
考点 1:角平分线性质定理及其应用
典例:(2020·河北省初二期末)如图,在
△
ABC 中,D 是 BC 边上的点(不与点 B,C 重合),连结 AD
(1)如图 1,当点 D 是 BC 边上的中点时,则 S△
ABD:S△
ACD=_________(直接写出答案)
(2)如图 2,当 AD 是∠BAC 的平分线时,若 AB=m,AC=n,S△
ABD:S△
ACD=_________ (用含 m,n 的代数式
表示).
(3)如图 3,AD 平分∠BAC,延长 AD 到 E,使得 AD=DE,连结 BE,如果 AC=2,AB=4,S△
BDE =6,求
△
ABC
的面积.1
2
1
2
1
2
1
2
【答案】(1)1:1;(2)m∶n;(3)9
【解析】
解:(1)过 A 作 AE⊥BC 于 E,
∵点 D 是 BC 边上的中点,
∴BD=DC,
∴SABD:S△
ACD=( ×BD×AE):( ×CD×AE)=1:1,
故答案为:1:1;
(2)过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,
∵AD 为∠BAC 的角平分线,
∴DE=DF,
∵AB=m,AC=n,
∴SABD:S△
ACD=( ×AB×DE):( ×AC×DF)=m:n;
(3)∵AD=DE,
∴由(1)知:S△
ABD:S△
EBD=1:1,
∵S△
BDE=6,
∴S△
ABD=6,
∵AC=2,AB=4,AD 平分∠CAB,
∴由(2)知:S△
ABD:S△
ACD=AB:AC=4:2=2:1,
∴S△
ACD=3,
∴S△
ABC=3+6=9,15
2
20
3
12
5
12
5
故答案为:9.
方法或规律点拨
本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式,能根据(1)(2)得出规律是解此题的关键.
巩固练习
1.(2019·广东省深圳外国语学校初一期末)如图,在 Rt
△
ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AD 平分
∠CAB 交 BC 于 D 点,E,F 分别是 AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为( )
A. B. C.3 D.
【答案】D
【解析】解:在 AB 上取一点 G,使 AG=AF
∵在 Rt
△
ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4
∴AB=5,
∵∠CAD=∠BAD,AE=AE
∴△AEF≌△AEG(SAS)
∴FE=FG
∴CE+EF=CE+EG
则最小值时 CG 垂直 AB 时,CG 的长度
CG=
故选 D.AOB PA OA PB OB
PA PB
PO PO
PA PB
APO BPO
Rt ABC C 90 A
AC AB M N M N MN P
AP BC D CD 4 AB 15 ABD
2.(2020·山东省济南外国语学校初二期中)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为用 A、
B.下列结论中不一定成立的是( )
A.PA=PE B.PO 平分∠APB C.AB 垂直平分 OP D.OA=OB
【答案】C
【解析】解:∵OP 平分 , ,
∴ ,选项 A 正确;
在 Rt
△
AOP 和 Rt
△
BOP 中,
,
∴Rt
△
AOP Rt
△
BOP
∴ ,OA=OB,选项 D 正确;
∴PO 平分∠APB,选项 B 正确;
由等腰三角形三线合一的性质,OP 垂直平分 AB,AB 不一定垂直平分 OP,选项 C 错误.
故选:C.
3.(2020·辽宁省初三其他)如图,在 中, ,以顶点 为圆心,适当长为半径画弧,分
别交 , 于点 , ,再分别以点 , 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧交于点 ,
作射线 交边 于点 ,若 , ,则 的面积是 ( )
A.15 B.30 C.45 D.60
【答案】B
【解析】解:作 DE⊥AB 于 E,
由基本尺规作图可知,AD 是
△
ABC 的角平分线,
∵∠C=90°,DE⊥AB,1
2
1
2
Rt ABC ∠B 90 A
AB AC 、 D E, D E 、 1
2
DE F AF
BC BG AC 1, 4 ACG
1
3
2
2 5
2
∴DE=CD=4,
∴△ABD 的面积= AB×DE= ×15×4=30,
故选:B.
4.(2020·南通市八一中学初一月考)如图,a、b、c 三条公路的位置相交成三角形,现决定在三条公路之
间建一购物超市,使超市到三条公路的距离相等,则超市应建在( )
A.三角形两边高线的交点处 B.三角形两边中线的交点处
C.∠α 的平分线上 D.∠α 和∠β 的平分线的交点处
【答案】D
【解析】∵如图,要建一超市到 a、b、c 三条公路的距离相等,
∴该超市是
△
ABC 的内心,
∴超市应该建在∠α 和∠β 的平分线的交点处.
故选:D.
5.(2020·河南省初三二模)如图,在 中, ,以点 为圆心,适当长为半径画弧,分别
交 于点 ,再分别以点 为圆心,大于 为半径画弧,两弧交于点 ,作射线 交
边 于点 ,则 的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】CAG BAC
G AC BG G AC 1
ACG
1
4 1 2
2
【解析】解:由作法得 平分 ,
点到 的距离等于 的长,即 点到 的距离为 ,
所以 的面积 .
故选:C.
6.(2020·黑龙江省初二期末)如图所示,在
△
ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于点 D,如
果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【答案】B
【解析】解:∵△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE⊥AB 于点 D,
∴EC=DE,
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故选:B.
7.(2019·内蒙古自治区初二期中)如图,AD 是
△
ABC 的角平分线,DF⊥AB,垂足为 F,DE=DG,
△
ADG
和
△
AED 的面积分别为 50 和 39,则
△
EDF 的面积为( )
A.11 B.5.5
C.7 D.3.5
【答案】B
【解析】作 DM=DE 交 AC 于 M,作 DN⊥AC,1
11
2
1
2
1
2
3
5
1
2
∵DE=DG,
∴DM=DE,
∵AD 是
△
ABC 的角平分线,DF⊥AB,
∴DE=DN,
∴△DEF≌△DNM,
∵△ADG 和
△
AED 的面积分别为 50 和 39,
∴S△
MDG=S△
ADG﹣S△
AMG=590﹣39=11,
S△
DNM=S△
DEF= S△
MDG= =5.5
8.(2019·陕西省交大附中分校初一期末)如图,在
△
ABC 中,E 为 AC 的中点,AD 平分∠BAC,BA:CA=2:
3,AD 与 BE 相交于点 O,若
△
OAE 的面积比
△
BOD 的面积大 1,则
△
ABC 的面积是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】解:作 DM⊥AC 于 M,DN⊥AB 于 N.
∵AD 平分∠BAC,DM⊥AC 于 M,DN⊥AB 于 N,
∴DM=DN,
∴S△
ABD:S△
ADC=BD:DC= •AB•DN: •AC•DM=AB:AC=2:3,
设
△
ABC 的面积为 S.则 S△
ADC= S,S△
BEC= S,3
5
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
∵△OAE 的面积比
△
BOD 的面积大 1,
∴△ADC 的面积比
△
BEC 的面积大 1,
∴ S- S=1,
∴S=10,
故选 C.
9.(2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考)在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,AB=10,BC=8,AC=6.点 I 为
△
ABC
三条角平分线的交点,则点 I 到边 AB 的距离为__________
【答案】2
【解析】∵在
△
ABC 中,∠C=90°,BC=8,CA=6,AB=10,
∵点 I 为
△
ABC 的三条角平分线的交点,
∴IE=IF=ID,
设 IE=x,
∵S△
ABC=S△
IAB+S△
IAC+S△
ICB,
∴ ×6×8= IF×10+ IE×6+ ID×8,
∴5x+3x+4x=24,
∴x=2,
∴点 I 到 AB 的距离等于 2.
故答案为:2.
10.(2019·湖北省初二期中)如图,∠B=∠C=90°,DM 平分∠ADC,AM 平分∠DAB,CB=8,则点 M 到
BC 的距离_______.1
8 4
2
BM
ABC AB BC CA 、 、 40 50 60 、 、
O : : ABO BCO CAO S S S
4:5: 6
【答案】4
【解析】如图,过点 M 作 ME⊥AD 于 E,
∵AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC,∠B=∠C=90°,
∴BM=ME,CM=EM,
∴BM=CM,
∵BC=8,
∴ ,
∴ME=4,
即点 M 到 AD 的距离为 4.
故答案为:4.
11.(2020·上饶市广信区第七中学初二月考)如图, 的三边 的长分别为 ,
其三条角平分线交于点 ,则 =______.
【答案】
【解析】解:过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,作 OE⊥AC 于点 E,作 OF⊥BC 于点 F,1
2
1
2
1
2
4:5: 6
4:5: 6
1
2
1
2
∵OA,OB,OC 是
△
ABC 的三条角平分线,
∴OD=OE=OF,
∵△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60,
∴S△
ABO:S△
BCO:S△
CAO=( AB•OD):( BC•OF):( AC•OE)
=AB:BC:AC=40:50:60= .
故答案为: .
12.(2019·眉山东辰国际学校初一期末)如图,BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 于 F,AB=6,BC
=8.若 S△
ABC=21,则 DE=________.
【答案】3
【解析】∵BD 平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∵S△
ABC=21,AB=6,BC=8,
∴ ×6×DE+ ×8×DF=21,
即 7DE=21,
∴DE=3.
故答案为:3.
13.(2019·深圳市明德外语实验学校初二期中)如图:在
△
ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE
⊥AB 于 E,F 在 AC 上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB.
(2)若 AF=2,EB=1,求 AB 的长.OM AOB P OM
OA OB
【答案】(1)证明见解析;(2)4
【解析】(1)证明:∵ AD 是∠BAC 的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
∴ DC=DE,
∵ BD=DF,
∴Rt
△
DCF≌Rt
△
DEB(HL),
∴CF=EB;
(2)由(1)知 CF=EB=1,
∴AC=AF+FC=3,
又∵∠C=∠AED=90°,∠CAD=∠EAD,AD=AD,
∴△ACD≌△AED(AAS)
∴AC=AE=3,
∴AB=AE+EB=3+1=4.
14.(2020·凌海市石山镇初级中学初一月考)已知 是 的平分线,点 是射线 上一点,点 C、
D 分别在射线 、 上,连接 PC、PD.PC OA PD OB
PC PD
CFP DEP
FCP PDE
PF PE
(1)发现问题
如图①,当 , 时,则 PC 与 PD 的数量关系是________.
(2)探究问题
如图②,点 C、D 在射线 OA、OB 上滑动,且∠AOB=90°,∠OCP+∠ODP=180°,当 时,PC 与
PD 在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
【答案】(1)PC=PD;(2)PC=PD 仍然成立.理由见解析.
【解析】解:(1)∵OM 是∠AOB 的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC=PD,
故答案为:PC=PD;
(2)PC=PD 仍然成立.理由如下:
过 P 分别作 PE⊥OB 于 E,PF⊥OA 于 F,
∴∠CFP=∠DEP=90°,
∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE=PF.
∵∠OCP+∠ODP=180°,又∠ODP+∠PDE=180°,
∴∠OCP=∠PDE,即∠FCP=∠PDE,
在
△
CFP 和
△
DEP 中,
,∴△CFP≌△DEP(AAS),
∴PC=PD.
考点 2:角平分线性质定理的逆定理及其应用
典例:(2020·四川省初二期中)如图,在
△
ABC 中,∠BAC 的平分线与 BC 的中垂线 DE 交于点 E,过点 E
作 AC 边的垂线,垂足为 N,过点 E 作 AB 延长线的垂线,垂足为 M.
(1)求证:BM=CN;
(2)若,AB=2,AC=8,求 BM 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.
【解析】证明:连接 BE,CE,如图,
∴DE 是 BC 的垂直平分线,
∴BE=CE,
∵AE 是∠BAC 的平分线,EM⊥AB,EN⊥AC,
∴EM=EN,
在 Rt
△
BME 和 Rt
△
CNE 中,
{
??
=
??
??
=
??
,
∴Rt
△
BME≌Rt
△
CNE(HL),
∴BM=CN
(2)由(1)得:EM=EN,
在 Rt
△
AME 和 Rt
△
ANE 中,{
??
=
??
??
=
??
,
∴Rt
△
AME≌Rt
△
ANE(HL),
∴AM=AN,又∵AM= AB+BM, AN= AC-CN
∴AB+BM=AC-CN
∴2+ BM=8-CN, 又∵BM=CN
∴BM=CN =3
方法或规律点拨
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质,解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用.
巩固练习
1.(2020·福州四十中金山分校初二月考)小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全
相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺压住射线 OB,另一把直尺压住射线 OA 并
且与第一把直尺交于点 P,小明说:“射线 OP 就是∠BOA 的角平分线.”他这样做的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
【答案】A
【解析】如图所示:过两把直尺的交点 C 作 CF⊥BO 与点 F,由题意得 CE⊥AO,ABC ADE BAC DAE 90 BD CE ,
AF BD CE BF CF AF CAD AFE 45
∵两把完全相同的长方形直尺,
∴CE=CF,
∴OP 平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),
故选 A.
2.(2020·湖北省中考真题)如图,已知 和 都是等腰三角形, ,
交于点 F,连接 ,下列结论:① ;② ;③ 平分 ;④ .其
中正确结论的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】C
【解析】解:∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在
△
BAD 和
△
CAE 中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌
△
CAE
∴BD=CE
故①正确;1 1
2 2
BD AM CE AN
AF
AF BF CF
AFE 45
∵
△
BAD≌
△
CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确;
分别过 A 作 AM⊥BD、AN⊥CE 垂足分别为 M、N
∵△BAD≌
△
CAE
∴S△
BAD=S△
CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE,无法证明 AF 平分∠CAD.
故③错误;
∵ 平分∠BFE,
∴
故④正确.ABC C 90 O ABC
OD BC OE AC OF AB D E F AB 10cm BC 8cm
CA 6cm OF
OA OB OC
O ABC OD BC OE AC OF AB
OD OE OF
OF x OD OE x
AOC BOC AOB ACB S S S S
1 1 1 1 6 8 10 6 8
2 2 2 2
x x x x 2
OF 2cm
2cm
故答案为 C.
3.(2020·四川省正兴中学初二二模)已知,如图, 中, ,点 为 的三条角平分
线的交点, 垂直 , , ,点 、 、 分别是垂足,且 , ,
,则 __________.
【答案】2cm
【解析】解:连接 、 、 ,如图,
点 为 的三条角平分线的交点, 垂直 , , ,
,
设 ,则 ,
,
,解得 ,
即 的长为 .
故答案为: .
4.(2020·甘肃省平川区四中初二期中)如图,在 Rt
△
ABC 中,∠A=90°,点 D 为斜边 BC 上一点,且 BD=BA,
过点 D 作 BC 的垂线交 AC 于点 E.求证:点 E 在∠ABC 的角平分线上.BE BE
{
BA BD
=
=
BC DC
CE CF
【答案】证明见解析.
【解析】证明:连接 BE,
∵ED⊥BC,
∴∠BDE=∠A=90°.
在 Rt
△
ABE 和 Rt
△
DBE 中
∵ ,
∴Rt
△
ABE≌Rt
△
DBE(HL).
∴∠ABE=∠DBE.
∴点 E 在∠ABC 的角平分线上.
5.(2020·甘州区南关学校初二月考)如图,已知 AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,且 BC=CD.
(1)求证:
△
BCE≌△DCF;
(2)求证:AB+AD=2AE.
【答案】详见解析
【解析】(1)证明:∵AC 是角平分线,CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,
∴CE=CF,∠F=∠CEB=90°,
在 Rt
△
BCE 和 Rt
△
DCF 中,
∴△BCE≌△DCF;
(2)解:∵CE⊥AB 于 E,CF⊥AD 于 F,
∴∠F=∠CEA=90°,AC AC
CE CF
{
FAD EAD
AD AD
ADB ADC
在 Rt
△
FAC 和 Rt
△
EAC 中, ,
∴Rt
△
FAC≌Rt
△
EAC,
∴AF=AE,
∵△BCE≌△DCF,
∴BE=DF,
∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
6.(2019·云龙县第三中学初二期中)如图,BE⊥AC、CF⊥AB 于点 E、F,BE 与 CF 交于点 D,DE=DF,
连接 AD.
求证:(1)∠FAD=∠EAD;
(2)BD=CD.
【答案】(1)证明见解析;证明见解析.
【解析】证明:(1)∵BE⊥AC、CF⊥AB,DE=DF,
∴AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠FAD=∠EAD;
(2)∵
△
ADF 与
△
ADE 是直角三角形,DE=DF,AD=AD,
∴Rt
△
ADF≌Rt
△
ADE,
∴∠ADF=∠ADE,
∵∠BDF=∠CDE,
∴∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE,
即∠ADB=∠ADC,
在
△
ABD≌
△
ACD 中,
,BAC BF AC CE AB BF CE
BD CD BAC
BF AC CE AB
BED CFD
BDE CDF
BD CD
BAC
ABC
B a BA BC D E
∴
△
ABD≌
△
ACD,
∴BD=CD.
7.(2018·江苏省初二期中)已知:如图 中, , ,垂足分别为 F、E, 交
于点 D, ,求证:D 点在 的平分线上.
【答案】证明见解析
【解析】
证明:连接 AD,
∵ , ,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在
△
BDE 与
△
CDF 中,
,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
∴AD 是∠BAC 的角平分线,
∴D 点在 的平分线上.
考点 3:与角平分线有关的尺规作图
典例:(2020·河北省中考真题)如图 1,已知 ,用尺规作它的角平分线.
如图 2,步骤如下,
第一步:以 为圆心,以 为半径画弧,分别交射线 , 于点 , ;D E b ABC P
BP BP
a b a 0
1
2
b DE
a b a 0
1
2
b DE
B BA BC D E
a 0
D E 1
2
DE ABC P
1
2
b DE
BP BP
a 0
1
2
b DE
OC AOB
SSS SAS ASA AAS
第二步:分别以 , 为圆心,以 为半径画弧,两弧在 内部交于点 ;
第三步:画射线 .射线 即为所求.
下列正确的是( )
A. , 均无限制 B. , 的长
C. 有最小限制, 无限制 D. , 的长
【答案】B
【解析】第一步:以 为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线 , 于点 , ;
∴ ;
第二步:分别以 , 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧在 内部交于点 ;
∴ 的长;
第三步:画射线 .射线 即为所求.
综上,答案为: ; 的长,
故选:B.
方法或规律点拨
本题主要考查了基本作图,解决问题的关键是掌握作角平分线的方法.
巩固练习
1.(2020·广西壮族自治区初三其他)如图尺规作业, 为 的平分线,这样的作法依据是( )
A. B. C. D.
【答案】ACE CD
OC OC
OE OD
AOB OA OB
OD OE OD OE D E
1
2
DE C
OC CE CD
【解析】连接 CE、CD,
在
△
OEC 和
△
ODC 中,
,
∴△OEC≌△ODC(SSS),
故选:A.
2.(2020·河南省初二月考)如图,
△
ABC 中,点 E,F,G 分别在 BC,AC,AB 上,AE 与 BF 交于点 O,
且点 O 在 CG 上,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是( )
A.AE,BF 是
△
ABC 的角平分线 B.点 O 到
△
ABC 三边的距离相等
C.CG 也是
△
ABC 的一条角平分线 D.AO=BO=CO
【答案】D
【解析】A、由尺规作图的痕迹可知:AE、BF 是
△
ABC 的内角平分线,正确;
B、因为角平分线的点到角两边的距离相等得:点 O 到
△
ABC 三边的距离相等,正确;
C、根据三角形三条角平分线交于一点,且点 O 在 CG 上,所以 CG 也是
△
ABC 的一条内角平分线,正确
D、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等,所以选项 D 不正确;
故选 D.
3.(2020·新疆维吾尔自治区初三其他)如图,在 中,尺规作图如下:在射线 、 上,分别截
取 、 ,使 ;分别以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧,两弧相交于点 ;
作射线 ,连结 、 .下列结论不一定 ...成立的是( )OE EC CE CD OEC ODC ECO DCO
OEC ODC ECO DCO OE EC
1
2
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:根据题意,得:OE=OD,CE=CD,OC=OC,∴
△
OEC≌△ODC(SSS),
∴ , ,∴B、C、D 三项是正确的,而 不一定成立.
故选 :A.
4.(2020·广东省仙田外国语学校初一期中)如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:
①在 OA,OB 上分别截取线段 OD,OE,使 OD=OE;
②分别以 D,E 为圆心,以大于 DE 的长为半径画弧,在∠AOB 内两弧交于点 C;
③作射线 OC.
则∠AOC 的大小为_________.
【答案】20°.
【解析】根据画图的方法可知:OC 是∠AOB 的角平分线,
∴∠AOC=40°÷2=20°.
故答案是:20°.
5.(2020·内蒙古自治区初二期末)如图,在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,以点 A 为圆心,任意长为半径画弧,
分别交 AC、AB 于点 M、N,再分别以 M、N 为圆心,任意长为半径画弧,两弧交于点 O,作射线 AO 交 BC
于点 D,若 CD=3,P 为 AB 上一动点,则 PD 的最小值为_____.AOB
AOB
1
2
MN AOB
SSS SAS AAS ASA
AOB
AOB
【答案】3
【解析】根据作图的过程可知,AD 是∠BAC 的平分线.
根据角平分线上的点到角的两边距离相等,又因为点到直线的距离,垂线段最短可得 PD 最小=CD=3.
故答案为:3.
6.(2020·湖南省中考真题)人教版初中数学教科书八年级上册第 48 页告诉我们一种作已知角的平分线的方
法:
已知:
求作: 的平分线
做法:(1)以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,
(2)分别以点 M,N 为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧在 的内部相交于点 C
(3)画射线 OC,射线 OC 即为所求.
请你根据提供的材料完成下面问题:
(1)这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号).
① ② ③ ④
(2)请你证明 OC 为 的平分线.
【答案】(1)①;(2)证明见解析
【解析】(1)根据作图的过程知道:OM=ON,OC=OC,CM=CM,所以由全等三角形的判定定理 SSS 可以
证得
△
EOC≌△DOC,从而得到 OC 为 的平分线;
故答案为:①;OM ON
OC OC
CM CN
=
=
=
AOB
(2)如图,
连接 MC、NC.
根据作图的过程知,
在
△
MOC 与
△
NOC 中,
,
∴△MOC≌△NOC(SSS),
∠AOC=∠BOC,
∴OC 为 的平分线.
7.(2020·云南省初三二模)如图所示,在
△
ABC 中,按以下步骤作图:①以点 B 为圆心,任意长为半径作
弧,分别交 BA、BC 于点 M、N;再以点 N 为圆心,MN 长为半径作弧交前面的弧于点 F,作射线 BF 交 AC
的延长线于点 E.
②以点 B 为圆心,BA 长为半径作弧交 BE 于点 D,连接 CD.
请你观察图形,解答下列问题:
(1)求证:
△
ABC≌△DBC;
(2)若∠A=100°,∠E=50°,求∠ACB 的度数.
【答案】(1)见解析;(2)∠ACB=65°.
【解析】(1)如图所示,连接 MN,NF,1
2
A B C D
AB CD AB E EF CEB
AEC 100 CEF
CEF 40 .
AB CD
由作图可得,BM=BF,MN=FN,BN=BN,
∴△BMN≌△BFN(SSS),
∴∠ABC=∠DBC,
又∵AB=DB,BC=BC,
∴△ABC≌△DBC(SAS);
(2)∵∠A=100°,∠E=50°,
∴∠ABE=30°,
∴∠ABC= ∠ABD=15°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-100°-15°=65°.
8.(2019·广西壮族自治区初一期末)如图,平面内有 , , , 四点,请按要求完成:
(1)尺规作图:连接 ,作射线 ,交 于点 ,作射线 平分 .须保留作图痕迹,且用
黑色笔将作图痕迹描黑,不写作法和证明.
(2)在(1)的条件下,若 ,求 的度数.
【答案】(1)作图见解析;(2)
【解析】解:(1)作线段 ,作射线 , AEC 100 EF CEB
1 1 (180 ) (180 100 )
2 2
CEF AEC
40
ABC D AC AB AD
BAC AP BC P
PD PD PB
如图,即为所做图形;
(2) ,射线 平分 ,
9.(2020·佛山市南海外国语学校初三月考)如图,已知在 中,点 在边 上,且 .
(1)用尺规作图法,作 的平分线 ,交 于点 ;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)在(1)的条件下,连接 .求证: .
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】(1)如图,射线 AP 为所求作的图形;
(2)∵CP 是∠ACB 的平分线,如图:1 2
AB AD
AP AP
∴∠1=∠2,
在
△
ABP 和
△
ADP 中,
,
∴△ABP
△
ADP(SAS),
∴PD=PB.