2020-2021年高中一年级数学单元知识梳理:指数函数和对数函数
2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数
1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性
质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数 a 的不同取值
对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知 a 在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．
3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将
它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与 1 比较，分出大于 1 还是小于 1；然后在
各类中两两相比较．
4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、
对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数
定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．
5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、
知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或
不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．
6．方程的解与函数的零点：方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)
的图象与 x 轴有交点．
7．零点判断法：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)
f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解．
注意：由 f(a)f(b)
的变号零点或不变号零点．若 f(a)f(b)>0，则 f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．
8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．
9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
一、指数、对数函数的典型问题及求解策略
指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高
考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单2
3 4
ln
x x
y
x
2 2
3 4 3 4 0
ln ln 0, 0
x x x x
y
x x x
1 4
(0,1) (1,4]
0, 1
x
x
x x
2
f x x x ( ) 2 log
(0,2] [0,2) [0,2] (0,2)
0
2 0
x
x
0 2 x
)
4
1( )
4
1(
调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．
1．求定义域
【典例 1】1．（2020·河南高三其模拟）函数 的定义域是（ ）
A．（0，1）∪（1，4] B．（0，4]
C．（0，1） D．（0，1）∪[4，+∞）
【答案】A
【解析】 故选：A
2．（2020·湖南天心长郡中学高一月考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得， ,
解得 .故选：A.
2．比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较
大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用
搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
【典例 2】若 0
A．3
y
x
B．logx3
C．log4x
<
y)
4
1( )
4
1( )
4
1(
【答案】C
【解析】因为 0
对于 A，函数 y＝3
x 在 R 上单调递增，故 3
x
y，错误．
对于 B，根据底数 a 对对数函数 y＝logax 的影响：当 0
小图高”．因为 0logy3，错误．
对于 C，函数 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，故 log4x
对于 D，函数 y＝ x 在 R 上单调递减，故 x
>
y，错误．
【典例 3】比较三个数 0.3
2，log20.3,2
0.3 的大小．
【解析】解法一：∵0
2
2＝1，log20.3
0.3
>2
0＝1，∴log20.3
2
0.3
.
解法二：作出函数 y＝x
2，y＝log2x，y＝2
x 的大致图象，如图所示，画出直线 x＝0.3，
根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出 log20.3
2
0.3
.
3．与指数、对数函数相关的单调性问题
【典例 4】是否存在实数 a，使函数 f（x）＝loga（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求
出 a 的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】设 u（x）＝ax2﹣x，显然二次函数 u 的对称轴为 x= 1
2?．
①当 a＞1 时，要使函数 f（x）在[2，4]上为增函数，则 u（x）＝ax2﹣x 在[2，4]上为增函数，10
x 3
10
x 3
10
x 3
故应有
{ 12? ≤ 2
?(2) = 4? − 2
＞
0
，解得 a＞12
．综合可得，a＞1．
②
当 0＜a＜1 时，要使函数 f（x）在[2，4]上为增函数，
则 u（x）＝ax2﹣x 在[2，4]上为减函数，
应有
{ 12? ≥ 4
?(4) = 16? − 4
＞
0
，解得 a
∈∅
．
综上，a＞1 时，函数 f（x）＝loga（ax2﹣x）在区间[2，4]上为增函数．
二、函数的图象问题
对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研
究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参
数的关系，能够通过变换画出函数的图象．
1．图象的变换
【典例 5】为了得到函数 y＝lg 的图象，只需把函数 y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
【答案】C
【解析】∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将 y＝lg x 的图象上所有的点向左平移 3
个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，即可得到函数 y＝lg 的图象．
2．根据函数解析式确定图象
【典例 6】已知 f(x)＝a
x－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且 a≠1)，若 f(4)g(4)
g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是( )x 3, 2
1 1 ( ) 1
4 2
x x
f x
2
1 1 1 3 2
1 4 2 1 2 2 1 2
4 2 2 4
x x x x x
x x
f x
x 3, 2
1
2 8
4
x
1 2
2
x
x 1 f x
3
4
2 8
x
x 3 f x
【答案】B
【解析】由 f(4)g(4)
2
·loga4
单调递减．
三、等价转化思想的体现
一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与
性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思
想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来
处理．
【典例 7】（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知 ，求 的
最小值与最大值．
【解析】 ,
∵ , ∴ .
则当 ,即 时, 有最小值 ；当 ,即 时， 有最大值 57．
四、函数零点与方程的解
根据函数零点的定义，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f(x)＝0 是否有解，有几个解．从图形上说，函数的
零点就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与
x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多
函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的
重视．
【典例 8】关于 x 的方程 x＋lg x＝3，x＋10
x＝3 的解分别为 α，β，则 α＋β 等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】D
【解析】将方程变形为 lg x＝3－x 和 10
x＝3－x.令 y1＝lg x，y2＝10
x，y3＝3－x，在同一
平面直角坐标系中分别作出 y1＝lg x，y2＝10
x，y3＝3－x 的图象，如图所示．这样方程
lg x＝3－x 的解可以看成函数 y1＝lg x 和 y3＝3－x 的图象的交点 A 的横坐标，方程 10
x
＝3－x 的解可以看成函数 y2＝10
x 和 y3＝3－x 的图象交点 B 的横坐标．因为函数 y1＝lg
x 和 y2＝10
x 互为反函数，所以 y1＝lg x 和 y2＝10
x 的图象关于直线 y＝x 对称，由题意可
得出 A，B 两点也关于直线 y＝x 对称，于是 A，B 两点的坐标分别为 A(α，β)，B(β，α)．而
A，B 两点都在直线 y＝3－x 上，所以 β＝3－α，所以 α＋β＝3.
【典例 9】（2018·福建厦门双十中学高三月考（理））已知函数 f(x)＝x＋2
x
，g(x)＝x＋ln x，h(x)
＝x－
√?
－1 的零点分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是________(由小到大).
【答案】x1
【解析】令 y1＝2
x
，y2＝ln x，y3＝－
√?
－1，y＝－x，
∵函数 f(x)＝x＋2
x
，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－
√?
－1 的零点分别为 x1，x2，x3，即函数 y1＝2
x
，y2＝ln x，y3＝－
√?
－1 与函数 y＝－x 交点的横坐标分别为 x1，x2，x3.
分别作出函数的图象，结合图象可得 x1
五、函数模型的应用
针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已
学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的
认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给
出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接
近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．
【典例 10】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测
量最大积雪深度 x 与当年灌溉面积 y.现有连续 10 年的实测资料，如表所示．
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
a b
a b
45.8 24.0
21.1 10.4
2
e
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为 25 cm，则可以灌溉土地多少公
顷？
【解析】(1)描点、作图，如图甲所示：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积 y 与最
大积雪深度 x 满足一次函数模型 y＝a＋bx(a，b 为常数且 b≠0)．取其中的两组数据
(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入 y＝a＋bx，得 ，用计算器可得 a≈2.2，b≈1.8.
这样，得到一个函数模型：
y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度
较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)得到的函数模型为 y＝2.2＋1.8x，则由 y＝2.2＋1.8×25，求得 y＝47.2，即当最
大积雪深度为 25 cm 时，可以灌溉土地约为 47.2 公顷．
【典例 11】载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量 M t 是箭体(包括
搭载的飞行器)的重量 m t 和燃料重量 x t 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭
的最大速度 y km/s 关于 x 的函数关系为 y＝k[ln (m＋x)－ln ( m)]＋4ln 2(其中 k≠0，ln
x 是以 e 为底 x 的对数)．当燃料重量为( －1)m t 时，该火箭的最大速度为 4 km/s.
(1)求此型号火箭的最大速度 y km/s 与燃料重量 x t 之间的函数解析式；
(2)若此型号火箭的起飞重量是 479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到 0.1 t，取 e＝2.718)
才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道？e 2
2
m
m x
479.8 x
479.8
【解析】(1)由题意，得 4＝k{ln [m＋( －1)m]－ln ( m)}＋4ln 2，解得 k＝8，
所以 y＝8[ln (m＋x)－ln ( m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知，得 M＝m＋x＝479.8，则 m＝479.8－x.
将 y＝8 代入(1)中所得式中，得
8＝8ln ，解得 x≈303.3.
答：应装载约 303.3 t 燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s，顺利地把飞船送到
预定的椭圆轨道．