2020-2021学年高一数学单元知识梳理:一元二次函数、方程和不等式
2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：一元二次函数、方程和不等式
1．比较数(式)的大小
依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.
适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．
2．利用基本不等式证明不等式
(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．
(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知
的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证
结论，其特征是“由因导果”．
(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．
3．利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y 都是正数．
②积 xy(或和 x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．
③x 与 y 必须能够相等(等号能够取到)．
(2)构造定值条件的常用技巧
①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．
4．解一元二次不等式的步骤
当 a＞0 时，解形如 ax
2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax
2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的
一般步骤如下：
(1)确定对应方程 ax
2＋bx＋c＝0 的解；
(2)画出对应函数 y＝ax
2＋bx＋c 的图象的简图；
(3)由图象写出不等式的解集．
特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不
等关系及 Δ＝0 时的特殊情况．
(2)当 a＜0 时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时
图象开口向下)；②两边同乘以－1，把 a 转变为－a 再进行求解．
5．一元二次不等式的实际应用
不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、
最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题
的一般步骤是：
(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．
(2)简化假设：精选问题中的关键变量．
(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．
(4)求解：运用数学知识解相应不等式．
(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出
问题的答案．一、常数代换法
【典例 1】已知正数 x，y 满足 x+y＝1，则1? + 41+?
的最小值为（ ）
A．5 B．
14
3
C．92
D．2
【答案】C
【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，
则 2
(1? + 41+?) = [? + (1 + ?)](1? + 41+?) = 4? 1+? + 1+?? + 5 ≥ 2√ 4? 1+? ⋅ 1+?? + 5 = 9
，
所以，1? + 41+? ≥ 92
，
当且仅当
{ 4? 1+? = 1+?? ? + ? = 1
，即当
{? = 23 ? = 13
时，等号成立，
因此，1? + 41+?
的最小值为92
，故选：C．
二、消元法
【典例 2】设 x，y，z 为正实数，满足 x﹣2y+3z＝0，则?2
??
的最小值是 ．
【答案】3
【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴
? = ?+3? 2
，
∴?2
??
= ?2+9?2+6??
4??
≥ 6??+6??
4??
= 3
，当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
故答案为 3．
三、配凑法
1．从和或积为定值的角度入手配凑
某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这
些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等
常规运算和技巧．2
2
y 2
x 1 y
2
2
y
2
x 1 y (1 )
2 2
x y
4
3 2
2
2
1
2
2
1 2
2
2
2
2
y x y x
2
1
2
2 y x
2
2 ,
2
3 x y
2
x 1 y
4
3 2
xyz
1
xyz
1
xz
1
xz
1
1
2 2
1
3
2
2
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a n
n
n
1
2
k
k
a
a
2
2
1
a
a
3
2
2
a
a
n
n
a
a
2
1
1
2
a
an
3a 1 3b1 3c 1
2
3 3
2
2 3 1 2 3 1 a a a
2
3 3 , 2 3 1
2
3 3 2 3 1 c c b b
2 3a 1 3b1 3c 1
【典例 3】设 x>0，y>0，x
2＋ ＝1，求 的最大值．
【解析】∵x>0，y>0，x
2 与 的和为定值，
∴ ＝ ＝ ，当且仅当 ，
即 时取等号，即 的最大值为 .
【典例 4】已知 x，y，z 为正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值．
【解析】由条件得 x＋y＋z＝ ，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y
2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝
y· ＋xz＝ ＋xz≥2，当且仅当 ＝xz，即 xz＝1 时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小
值为 2.
【典例 5】设 a1，a2，a3，…，an 均为正实数，求证： ≥a1＋a2
＋a3＋…＋an.
【解析】为了约去 中的分母，可考虑配上一项 ak＋1，于是有 ＋a2≥2a1， ＋
a3≥2a2，… ＋an≥2an－1， ＋a1≥2an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时取等号．以
上不等式相加，化简，可得原不等式成立．
2．从取等号的条件入手配凑
在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑．
【典例 6】设 a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求 的最大值．
【解析】 ， .
以上三式相加，并利用 a＋b＋c＝1，得 ( )≤6，故3a 1 3b1 3c 1 2
5
1
5
1
的最大值为 3 .
四、判别式法在“三个二次”问题中的应用
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”
问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中
的重要性．
1．求变量的取值范围
【典例 7】不等式(m
2－2m－3)x
2－(m－3)x－1
范围．
【解析】(m
2－2m－3)x
2－(m－3)x－1
①若 m
2－2m－3＝0，则 m＝－1 或 m＝3.
当 m＝－1 时，不符合题意；当 m＝3 时，符合题意．
②若 m
2－2m－3≠0，设 y＝(m
2－2m－3)x
2－(m－3)x－1
则 m
2－2m－3
2－4ac＝5m
2－14m－3
解得－
故实数 m 的取值范围是－
2．求最值
【典例 8】已知正实数 a，b 满足 a＋2b＋ab＝30，试求实数 a，b 为何值时，ab 取得最
大值．
【解析】构造关于 a 的二次方程，应用“判别式法”．
设 ab＝y， ①
由已知得 a＋2b＋y＝30. ②
由①②消去 b，整理得 a
2＋(y－30)a＋2y＝0， ③
对于③，由 Δ＝(y－30)
2－4×2y≥0，即 y
2－68y＋900≥0，解得 y≤18 或 y≥50，又 y
＝ab＜30，故舍去 y≥50，得 y≤18.把 y＝18 代入③(注意此时 Δ＝0)，得 a
2－12a＋36
4( 1) 4 3 0( 4)
4 3 0( 0)
2
2
x x x p
x x p
＝0，即 a＝6，从而 b＝3.故当 a＝6，b＝3 时，ab 取得最大值 18.
3．证明不等式
【典例 9】已知 x，y∈R，证明：2x
2＋2xy＋y
2－4x＋5>0 恒成立．
【解析】不等式可变形为y
2＋2xy＋2x
2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于y的二次函数，
令 z＝y
2＋2xy＋2x
2－4x＋5，则关于 y 的一元二次方程 y
2＋2xy＋2x
2－4x＋5＝0 的根的
判别式 Δ＝4x
2－4(2x
2－4x＋5)＝－4(x－2)
2－4
2＋2xy＋
2x
2－4x＋5，其图象开口向上，且在 x 轴上方，所以 z>0 恒成立，即 2x
2＋2xy＋y
2－4x
＋5>0 恒成立．
五、含变量的不等式恒成立问题
【典例 10】对于满足 0≤p≤4 的一切实数，不等式 x
2＋px＞4x＋p－3 恒成立，试求 x
的取值范围．
【解析】原不等式可化为 x
2＋px－4x－p＋3＞0，
令 y＝x
2＋px－4x－p＋3
＝(x－1)p＋(x
2－4x＋3)．
题设得 解得 x＞3 或 x＜－1.
故 x 的取值范围是 x<－1 或 x>3.