我爱孩子 新闻 2020-2021学年高一数学单元知识梳理:集合与常用逻辑用语

2020-2021学年高一数学单元知识梳理:集合与常用逻辑用语

2020-2021学年一年级数学单元知识的整理:集合与常用逻辑术语

2020-2021学年高一数学单元知识梳理:集合与常用逻辑用语

1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题

的切入点;另一方面,在解答完毕之时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答

案正确.

2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,

求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系:一

是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.

3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的

又一体现.

4.充分、必要条件与集合的关系,p,q 成立的对象构成的集合分别为 A 和 B.

(1)若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.

(2)若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件.

(3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件.2

3

2

3

2

3

2

7

2

3

5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要

条件是 q”等语言.

6.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,

并注意与否命题的区别;否定的规律是“改量词,否结论”.

一、数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要表现为:获得数

学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法和思想,认识数学结构与体系.在本章中,主

要表现在集合概念的理解及应用中.

【典例 1】(1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )

A.1 B.3

C.5 D.9

(2)若-3∈{x-2,2×2+5x,12},则 x=________.

【答案】(1)C (2)-

【解析】(1)①当 x=0 时,y=0,1,2,此时 x-y 的值分别为 0,-1,-2;

②当 x=1 时,y=0,1,2,此时 x-y 的值分别为 1,0,-1;

③当 x=2 时,y=0,1,2,此时 x-y 的值分别为 2,1,0.

综上可知,x-y 的可能取值为-2,-1,0,1,2,共 5 个,故选 C.

(2)由题意知,x-2=-3 或 2×2+5x=-3.

①当 x-2=-3 时,x=-1.

把 x=-1 代入,得集合的三个元素为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;

②当 2×2+5x=-3 时,x=- 或 x=-1(舍去),

当 x=- 时,集合的三个元素为- ,-3,12,满足集合中元素的互异性,由①②知 x=- .二、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养,主要表现为:理解运

算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.在本章中,主要表现在集合的交、并、补

运算中.

【典例 2】(1)设集合 A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若 A∩B={1},则 B=( )

A.{1,-3} B.{1,0}

C.{1,3} D.{1,5}

(2)若集合 A={x|-2<x<1},B={x|x<-1 或 x>3},则 A∩B=( )

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3}

C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3}

【答案】(1)C (2)A

【解析】(1)由 A∩B={1}得 1∈B,

所以 m=3,B={1,3}.

(2)A∩B={x|-2<x<-1}.

(3)已知集合 A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.

①求 A∪B,(∁RA)∩B;

②若 A∩C≠∅,求 a 的取值范围.

【解析】①因为 A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},

所以 A∪B={x|2≤x<10}.

因为 A={x|2≤x<7},

所以∁RA={x|x<2 或 x≥7},

则(∁RA)∩B={x|7≤x<10}.

②因为 A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且 A∩C≠∅,所以 a>2,

所以 a 的取值范围是{a|a>2}.



三、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养,主要表现为:掌握推理基本

形式和规则,发现问题和提出问题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流.本

章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.

【典例 3】(1)集合 A={x|x=a2-4a+5,a∈R},B={y|y=4b2+4b+3,b∈R},则下列关系正确的是

( )

A.A=B B.B A

C.A⊆B D.B A

(2)已知集合 A={x|0<x<4},B={x|x<a},若 A⊆B,则实数 a 的取值范围是( )

A.{a|0<a<4} B.{a|-8<a<4}

C.{a|a≥4} D.{a|a>4}

【答案】(1)B (2)C

【解析】(1)A={x|x=(a-2)2+1,a∈R},即 A 中的元素 x≥1;而 B={y|y=(2b+1)2+2,b∈R},即

B 中的元素 y≥2,∴B A.

(2)在数轴上标出 A,B 两集合如图所示,

结合数轴知,若 A⊆B,则 a≥4.

【典例 4】设 x∈R,则“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由-1≤x-1≤1,得 0≤x≤2,因为 0≤x≤2⇒x≤2,x≤2 0≤x≤2,故“2-x≥0”是

“-1≤x-1≤1”的必要不充分条件,故选 B.

0

0

b

a

0

0

b

a

}

2

{ m x x  

2

m

}

2

{ m x x  

【典例 5】若 a,b 都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0 中选出满足下列

条件的式子,用序号填空:

(1)使 a,b 都为 0 的必要条件是________;

(2)使 a,b 都不为 0 的充分条件是________;

(3)使 a,b 至少有一个为 0 的充要条件是________.

【答案】(1)①②③ (2)④ (3)①8

【解析】①ab=0⇔a=0 或 b=0,即 a,b 至少有一个为 0;

②a+b=0⇔a,b 互为相反数,则 a,b 可能均为 0,也可能为一正数一负数;

③a(a2+b2)=0⇔a=0,b 为任意实数;

④ab>0⇔ 或 即 a,b 同为正数或同为负数.

综上可知:(1)使 a,b 都为 0 的必要条件是①②③;

(2)使 a,b 都不为 0 的充分条件是④;

(3)使 a,b 至少有一个为 0 的充要条件是①.

【典例 6】已知集合 A={x∈R|2x+m<0},B={x∈R|x<-1 或 x>3}.

(1)是否存在实数 m,使得 x∈A 是 x∈B 成立的充分条件?

(2)是否存在实数 m,使得 x∈A 是 x∈B 成立的必要条件?

【解析】(1)欲使 x∈A 是 x∈B 成立的充分条件,

则只要 ⊆{x|x<-1 或 x>3},则只要- ≤-1 即 m≥2,

故存在实数 m≥2 时使 x∈A 是 x∈B 成立的充分条件.

(2)欲使 x∈A 是 x∈B 成立的必要条件,

则只要 ⊇{x|x<-1 或 x>3},则这是不可能的,故不存在实数 m,使 x∈A 是 x∈B 成立的必要条件.

【典例 7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,判断真假 ,并写出它们的否定:

(1)空集是任何一个非空集合的真子集.

(2)∀x∈R,4×2>2x-1+3×2.

(3)∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.

(4)∀a,b∈R,方程 ax+b=0 恰有一解.

【解析】(1)该命题是全称量词命题,是真命题.该命题的否定:存在一个非空集合,空集不是该集

合的真子集.

(2)该命题是全称量词命题,是假命题.

因为 4×2-(2x-1+3×2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,

所以当 x=1 时,4×2=2x-1+3×2.

该命题的否定:∃x∈R,4×2≤2x-1+3×2.

(3)该命题是存在量词命题,是真命题.

因为当 x=1 时,|x-2|=1<2.

该命题的否定:∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.

(4)该命题是全称量词命题,是假命题.当 a≠0 时,方程 ax+b=0 才恰有一解.该命题的否定:∃a,

b∈R,方程 ax+b=0 无解或至少有两解.

四、数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养,

主要表现在:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题,在本章主要

表现在集合的实际应用问题中.

【典例 8】某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已

知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时

参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有________人.【答案】8

【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为 A,B,C,同时参加数学和化学小

组的有 x 人,由题意可得如图所示的 Venn 图.

由全班共 36 名同学可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36,

解得 x=8,即同时参加数学和化学小组的有 8 人.

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