在2020-2021学年，高中一年级数学单元复习了真实问题训练:函数的概念和性质

2020-2021 学年高一数学单元复习真题训练：函数的概念和性质

1．（2020•新课标Ⅱ）设函数 f（x）＝x3−

?

??，则 f（x）（ ）

A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增

B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减

C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增

D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减

【答案】A

【解析】因为 f（x）＝x3−

?

??，则 f（﹣x）＝﹣x3+

?

?? = −f（x），即 f（x）为奇函数，

根据幂函数的性质可知，y＝x3 在（0，+∞）为增函数，故 y1=

?

??在（0，+∞）为减函数，y2= −

?

??在

（0，+∞）为增函数，所以当 x＞0 时，f（x）＝x3−

?

??单调递增，故选：A．

2．（2020•天津）函数 y=

??

??+?

的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数 y=

??

??+?

的定义域为实数集 R，关于原点对称，

函数 y＝f（x）=

??

??+?

，则 f（﹣x）= −

??

??+?

= −f（x），则函数 y＝f（x）为奇函数，故排除 C，

D，当 x＞0 是，y＝f（x）＞0，故排除 B，故选：A．

3．（2020•海南）若定义在 R 的奇函数 f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且 f（2）＝0，则满足 xf

（x﹣1）≥0 的 x 的取值范围是（ ）

A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]

C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]

【答案】D

【解析】∵定义在 R 的奇函数 f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且 f（2）＝0，f（x）的大致图象如

图：

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且 f（﹣2）＝0；故 f（﹣1）＜0；

当 x＝0 时，不等式 xf（x﹣1）≥0 成立，

当 x＝1 时，不等式 xf（x﹣1）≥0 成立，

当 x﹣1＝2 或 x﹣1＝﹣2 时，即 x＝3 或 x＝﹣1 时，不等式 xf（x﹣1）≥0 成立，

当 x＞0 时，不等式 xf（x﹣1）≥0 等价为 f（x﹣1）≥0，

此时

{?

＞

?

?

＜

? − ? ≤ ?

，此时 1＜x≤3，

当 x＜0 时，不等式 xf（x﹣1）≥0 等价为 f（x﹣1）≤0，

即

{?

＜

?

−? ≤ ? − ?

＜

?

，得﹣1≤x＜0，综上﹣1≤x≤0 或 1≤x≤3，

即实数 x 的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．

4．（2018•新课标Ⅱ）已知 f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足 f（1﹣x）＝f（1+x），

若 f（1）＝2，则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

【答案】C

【解析】∵f（x）是奇函数，且 f（1﹣x）＝f（1+x），

∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，

则 f（x+2）＝﹣f（x），则 f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，∵f（1）＝2，

∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，

f（4）＝f（0）＝0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，

则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）

＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．

5．（2020•海东市模拟）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x）在[0，+∞）上单调递增，

若 f（2）＝3，则满足 f（x+1）＜3 的 x 的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，2）

C．（﹣∞，﹣3）∪（0，1） D．（﹣3，1）

【答案】D

【解析】因为 f（x）是偶函数，所以 f（﹣2）＝f（2）＝3，

因为 f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以 f（x+1）＜3 等价于﹣2＜x+1＜2，解得﹣3＜x＜1，即满足条件的 x 的取值范围是（﹣3，1）．故选：D．

6．（2020•安庆模拟）已知奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+1）为偶函数，且 f（1）＝2，则 f

（2019）+f（2020）＝（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【答案】A

【解析】根据题意，函数 f（x）为奇函数，则﹣f（x）＝f（﹣x），

又由 f（x+1）为偶函数，则函数 f（x）的图象关于 x＝1 对称，则有 f（﹣x）＝f（2+x）＝f（﹣x）

＝﹣f（x），所以 f（x+4）＝f（x）即函数的周期为 4，且 f（1）＝2，

则 f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2020）＝f（0）＝0，

则 f（2019）+f（2020）＝﹣2 故选：A．

7．（2020•益阳模拟）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（2+x）＝﹣f（x），且当 x

∈

[﹣1，0]时，f

（x）＝x（1﹣x），则 f（
??

?

）＝（ ）

A．?

?

B．

− ??

C．?

?

D．

− ??

【答案】A

【解析】由 f（2+x）＝﹣f（x）可得 f（4+x）＝f（x），所以函数的周期 T＝4，

当 x

∈

[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则 f（

− ??

）

= − ??

，

则 f（
??

?

）＝f（ ?

? + ?

）＝f（?

?

）＝﹣f（

− ??

）

= ??

．故选：A．

8．（2020•山西模拟）已知函数

?(?) = {?? + ??

，

? ≥ ?

，

?? − ??，

?

＜

?

，f（x）＝xg（x），若 f（2﹣a）＞f（2a），

则实数 a 的取值范围是（ ）

A．

(−?

，??)

B．

(−?

，??)

C．

(−∞

，??)

D．

(??

，

+ ∞)【答案】B

【解析】因为 g（x）

= {?? + ??

，

? ≥ ?

?? − ??，

?

＜

? = {(? + ?)? − ?

，

? ≥ ?

−(? − ?)? + ?

，

?

＜

?

，

由 g（x）的解析式可知，g（x）在 R 上是奇函数且单调递增，f（x）＝xg（x）为偶函数，

当 x＞0 时，有 g（x）＞g（0），

任取 x1＞x2＞0，则 g（x1）＞g（x2）＞0，由不等式的性质可得 x1g（x1）＞x2g（x2）＞0，

即 f（x1）＞f（x2）＞0，所以，函数 f（x）在（0，+∞）上递增

再由 f（2﹣a）＞f（2a），得|2﹣a|＞2|a|，即 3a2+4a﹣4＜0，解得﹣2＜a＜??

．故选：B．

9．（2020•茂名二模）将函数

?(?) = ?−?
??−??

的图象向左平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，

则函数 g（x）的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

?(?) = ?(? + ?) = ?+?−? ?(?+?)−(?+?)? = ? ?−??

．

因为 g（x）＝﹣g（﹣x），所以 g（x）为奇函数，排除 A；g（x）有唯一的零点，排除 C；

?(??) = ??

＞

?

，排除 D，只有 B 符合条件．故选：B．

10．（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达

标的企业要限期整改．设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W＝f（t），用

− ?(?)−?(?) ?−?

的大小

评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与

时间的关系如图所示．给出下列四个结论：

①

在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②

在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③

在 t3 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④

甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是 ．

【答案】

①②③

【解析】设甲企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 W＝f（t），乙企业的污水排放量 W 与时间 t

的关系为 W＝g（t）．

对于

①

，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为

− ?(??)−?(??) ??−??

，

乙企业的污水治理能力为

− ?(??)−?(??) ??−??

．

由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴

− ?(??)−?(??) ??−??

＞

− ?(??)−?(??) ??−??

，

即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故

①

正确；

对于

②

，由图可知，f（t）在 t2 时刻的切线的斜率小于 g（t）在 t2 时刻的切线的斜率，但两切线斜

率均为负值，

∴在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故

②

正确；

对于

③

，在 t3 时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，∴在 t3 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故

③

正确；

对于

④

，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最

强，故

④

错误．

∴正确结论的序号是

①②③

．

故答案为：

①②③

．

11．（2019•江苏）函数 y

= √? + ?? − ??的定义域是 ．

【答案】[﹣1，7]

【解析】由 7+6x﹣x2≥0，得 x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．

∴函数 y

= √? + ?? − ??的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．

12．（2019•浙江）已知 a

∈

R，函数 f（x）＝ax3﹣x．若存在 t

∈

R，使得|f（t+2）﹣f（t）|

≤ ??

，则实

数 a 的最大值是 ．

【答案】?

?

【解析】存在 t

∈

R，使得|f（t+2）﹣f（t）|

≤ ??

，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|

≤ ??

，

化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|

≤ ??

，可得

− ?? ≤

2a（3t2+6t+4）﹣2

≤ ??

，

即?

? ≤

a（3t2+6t+4）

≤ ??

，由 3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，

可得 0＜a

≤ ??

，可得 a 的最大值为?

?

．故答案为：?

?

．