江苏省泰州中学，2020-2021，高二数学，上学期开学(Word版附分析)

江苏省泰州中学2020-2021学年上学期期初检测
高二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知椭圆 上的点 到椭圆一个焦点的距离为7，则 到另一焦点的距离为（    ）
A．2       B．3        C．5    D．7
2．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(  )
A．3x＋4y－4＝0                B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0         D．y＝4或3x＋4y－4＝0
3．设 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，则 的面积是（ ）
A．1       B．       C．2    D．
4．已知抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的标准方程是（    ）
A．     B．
C． 或                    D． 或
5．已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点 ， 为坐标原点， 在 轴上方且在双曲线上，则 的最小值为（    ）
A．         B．        C．         D．  
6．若双曲线   的渐近线与圆 无交点，则 的离心率的取值范围为（   ）
A．        B．       C．         D．
7．在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ，则 (    )
A．          B．2       C．        D．1
8．如图，椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于两点，且始终满足 ，作 交MN于点H，则 的取值范围是( )
A． B．
C．                            D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， ，截面 与直线 平行，与 交于点E，则下列判断正确的是（    ）

A．E为 的中点          B． 平面      
 C． 与 所成的角为   
D．三棱锥 与四棱锥 的体积之比等于 .

10．三角形有一个角是 ，这个角的两边长分别为8和5，则（    ）．
A．三角形另一边长为7    B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆周长为                 D．三角形外接圆面积为
11．在平面直角坐标系 中，动点 到两个定点 和 的距离之积等于8，记点 的轨迹为曲线 ，则（    ）
A．曲线 经过坐标原点    B．曲线 关于 轴对称
C．曲线 关于 轴对称                 D．若点 在曲线 上，则
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线  与椭圆相交于点 、 ，则（    ）
A．当 时， 的面积为     B．不存在 使 为直角三角形
C．存在 使四边形 面积最大        D．存在 ，使 的周长最大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在 中，若三边的比是 ，则此三角形的最大角为_________．
14．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 经过 交椭圆于 ， 两点，则 的周长为__________．
15．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，若 ，则 的取值范围是_____．
16．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线 上存在两点 关于直线 对称，且 为坐标原点，则 的值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

19.（12分）已知抛物线 上的焦点为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过 作斜率为 的直线 交曲线 于 、 两点，若 ，求直线 的方程.

20．（12分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线C的焦点为 、 ，实轴长为 .
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段 的中点，求直线l的方程.

21.（12分）已知椭圆 ： 的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 的面积为 （ 为坐标原点），求椭圆 的标准方程.

22．（12分）设动圆 经过点 ，且与圆 为圆心）相内切．
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）设经过 的直线与轨迹 交于 、 两点，且满足 的点 也在轨迹 上，求四边形 的面积．
 
江苏省泰州中学期初检测
高二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆 上的点 到椭圆一个焦点的距离为7，则 到另一焦点的距离为（    ）
A．2    B．3    C．5    D．7
【答案】B
2．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(  )
A．3x＋4y－4＝0            B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0     D．y＝4或3x＋4y－4＝0
【答案】C
3．设 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，则 的面积是（ ）
A．1    B．     C．2    D．
【答案】A
【解析】
由双曲线定义得
 
则 的面积是
故选A
4．已知抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的标准方程是（    ）
A．     B．
C． 或                    D． 或
【答案】C
【详解】
当焦点在x轴上时，根据 ， 可得焦点坐标为得  ，
则抛物线的标准方程为 ，
当焦点在y轴上时，根据 ， 可得焦点坐标为 ，
则抛物线的标准方程为 .
故选：C．
5．已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点 ， 为坐标原点， 在 轴上方且在双曲线上，则 的最小值为(      )
A．         B．        C．         D．  
【答案】A
【解析】
试题分析：将 化为 ，则抛物线与双曲线的公共焦点为，则 ，即双曲线的标准方程为 ，设 ，则 在 单调递增，则当 时，最小值 ；故选A．
6．若双曲线   的渐近线与圆 无交点，则 的离心率的取值范围为（   ）
A．     B．     C．     D．
【答案】C
∵双曲线渐近线为bx±ay＝0与圆（x﹣3）2+y2＝1无交点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即
∴8b2＞a2，∴8（c2-a2） a2，即8  
∴e ．
故答案为：C．
7．在 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ，则 (    )
A．        B．2        C．          D．1
【答案】B
【详解】
由正弦定理： ，又
得到 ，即
在 中，  
故 ，即
故
故选：B
8．如图，椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于两点，且始终满足 ，作 交MN于点H，则 的取值范围是( )
A．
B．
C．                             D．
【答案】C
【详解】
设直线 ，与椭圆方程联立得 ，
得 ， ，
因为  ，
代入整理得 ，
原点到直线的距离  
所以点H在圆 上运动，记线段AB的中点为D，
直线 与圆 相切，
则
 ，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， ，截面 与直线 平行，与 交于点E，则下列判断正确的是（    ）

A．E为 的中点           B． 平面
C． 与 所成的角为
D．三棱锥 与四棱锥 的体积之比等于 .
【答案】ABD
【详解】
连接 交 于点 连接 ，如图
 
因为四边形 是正方形，所以 为 的中点
又 //平面 ， 平面 ，且平面 平面
所以 // ，所以 为 的中点，故A正确
由 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ， ， 平面
所以 平面 ，故B正确
 与 所成的角即 与 所成的角，即 故C错
 ，
又 ，所以 ，故D正确
故选：ABD
10．三角形有一个角是 ，这个角的两边长分别为8和5，则（    ）．
A．三角形另一边长为7    B．三角形的周长为20
C．三角形内切圆周长为                 D．三角形外接圆面积为
【答案】ABD
【详解】
可得另一边长为 ，
三角形的周长为20，则A正确，B正确；
设内切圆半径为 ，
则 ，
则 ，
则内切圆周长为 ，则C不正确；
设外接圆半径为 ，则 ， ,
其面积为 ，
则D正确．
11．在平面直角坐标系 中，动点 到两个定点 和 的距离之积等于8，记点 的轨迹为曲线 ，则（    ）
A．曲线 经过坐标原点    B．曲线 关于 轴对称
C．曲线 关于 轴对称               D．若点 在曲线 上，则
【答案】BCD
【详解】
设 ，由已知，  ，即 ，平方得， 不满足方程，故选项A错误；
用 换 ，方程不变，所以曲线 关于 轴对称，故B正确；同理用 换 ，方程不变，所以曲线
关于 轴对称，故C正确；令 ，得 ，即 ，所以 ，故 ，D正确.
故选：BCD.
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线  与椭圆相交于点 、 ，则（    ）
A．当 时， 的面积为     B．不存在 使 为直角三角形
C．存在 使四边形 面积最大       D．存在 ，使 的周长最大
【答案】AC
【详解】
如图：
 
对于A选项，经计算显然正确；
对于B选项， 时，可以得出 ，当 时， ，根据对称性，存在 使 为直角三角形，故B错误；
对于C选项，根据椭圆对称性可知，当 时，四边形 面积最大，故C正确；
对于D选项，
由椭圆的定义得： 的周长 ；
∵ ；∴ ，当 过点 时取等号；
∴ ；
即直线 过椭圆的右焦点 时， 的周长最大；
此时直线 ；但 ，所以不存在 ，使 的周长最大.故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 中，若三边的比是 ，则此三角形的最大角为_________.
【答案】 ，
14．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 经过 交椭圆于 ， 两点，则 的周长为__________.
【答案】20
【详解】
由椭圆的焦点在 轴上， ， ，
∴ ， ，
∴ 的周长为 .
故答案为：20
15．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，若 ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
直线 过原点，结合椭圆图形的对称性可知 、 两点关于原点对称，
方法一：设 、 ，
则 ，
 ，即 ，∴ ．
方法二：利用参数方程，设 、 ，
则 ．
【点睛】
该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.

16．已知抛物线 的准线方程为 ，在抛物线 上存在两点 关于直线 对称，且 为坐标原点，则 的值为__________.
【答案】
【详解】
拋物线 的准线方程为 ，可知抛物线 的方程为： ．
设点 ， 的中点为 ，则
两式相减可得， ， ，所以 ，解得 ，可得 ，则 ，
可得 .
故答案为： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．解：
方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

18．（12分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，
AD⊂平面ABD，
所以AD⊥平面ABC.
因为BC⊂平面ABC，
所以AD⊥BC.
(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND.
又因为M为棱AB的中点，
所以MN∥BC.
所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AD＝23，AM＝1，
所以DM＝AD2＋AM2＝13.
因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.
在Rt△DAN中，AN＝1，
所以DN＝AD2＋AN2＝13.
在等腰三角形DMN中，MN＝1，
可得cos∠DMN＝12MNDM＝1326.
所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.
(3)连接CM.
因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，
所以CM⊥AB，CM＝3.
因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CM⊂平面ABC，
所以CM⊥平面ABD，
所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD＝AC2＋AD2＝4.
在Rt△CMD中，sin∠CDM＝CMCD＝34.
所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.
19.（12分）已知抛物线 上的焦点为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过 作斜率为 的直线 交曲线 于 、 两点，若 ，求直线 的方程.
【解析】（Ⅰ）
即曲线 的方程为： ；
（Ⅱ）设过 的斜率为 的直线方程为： ，
联立    . 令 、 ，
所以 ， ，
由题可知： ，即： , 即得 ，
由 ， ， 得：  ， ，
所求直线 的方程为： .

20．（12分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线C的焦点为 、 ，实轴长为 .
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段 的中点，求直线l的方程.
【答案】（1） （2） .
【解析】
（1）双曲线的标准方程为C： .
（2）过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段 的中点，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，则由双曲线对称性可知线段 的中点在 轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为 ，设 ，
则 ，化简可得 ，
因为有两个交点，所以  
化简可得 恒成立，
所以 ，
因为 恰好为线段 的中点，则 ，
化简可得 ，
所以直线方程为 ，即 .
21.（12分）已知椭圆 ： 的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 的面积为 （ 为坐标原点），求椭圆 的标准方程.
【解析】
（1）由题，椭圆上顶点的坐标为 ，
左右顶点的坐标分别为 、 ，
∴ ，即 ，则 ，
又 ，∴ ，
所以椭圆的离心率 ；
（2）设 ， ，
由 得： ，
 ， ，
∴    ，
又原点 到直线的距离 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，满足 ，
∴椭圆 的方程为 .

22．（12分）设动圆 经过点 ，且与圆 为圆心）相内切．
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）设经过 的直线与轨迹 交于 、 两点，且满足 的点 也在轨迹 上，求四边形 的面积．
【详解】
（Ⅰ）由已知可得,圆 的圆心 ，半径为 ，
由圆 与圆 相内切，得 ，
由椭圆定义可知，动圆圆心 的轨迹是以 ， 为焦点
且长轴长为 的椭圆，其方程为 ．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ， 一定存在），
代入 ，并整理得 ，
所以判别式△ 恒成立，
设 ， ， ， ，
由韦达定理可得, , ,
设 ， ,则  
由 ，得 ，
即 ，即 ，
又点 在轨迹 上，故 ，
即 ，解得 ，（舍负），
因为 ,所以四边形 为平行四边形,
所以平行四边形 的面积为
 ,
即 ,因为 ，
所以四边形 的面积为 ．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及其几何性质、直线与椭圆的位置关系；重点考查学生的运算求解能力；方程思想和韦达定理的应用与向量的坐标运算相结合是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.