浙江省嘉兴市高三数学九月试题(带答案的单词版)

2020年嘉兴市高三教学测试
高三数学  试题卷  （2020.9）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
若事件 ， 互斥，则
若事件 ， 相互独立，则
若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率
 
台体的体积公式
其中 ， 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高．
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （    ）
A．     B．     C．     D．
2．双曲线 的离心率为（    ）
A．     B．     C．     D．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）
 
A．     B．     C．2    D．4
4． ， 且 ，则 的值为（    ）
A．     B．0    C．     D．
5．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（    ）
A．     B．     C．     D．
6．函数 的大致图象是（    ）
A．     B．     C．     D．
7．对于函数 ， ，下列命题错误的是（    ）
A．函数 的最大值是
B．不存在 ，使得
C．函数 在 上单调递减
D．存在 ，使得 恒成立
8．数列 的前 项和为 ，且 ， ，则“ ”是“数列 为等差数列”的（    ）
A．充分不必要条件        B．必要不充分条件
C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件
9．如图，矩形 中， ， ，点 为 中点，将 沿 折起，在翻折过程中，记二面角 的平面角大小为 ，则当 最大时， （    ）
 
A．     B．     C．     D．
10．已知函数 ，其中 ．若对于某个 ，有且仅有3个不同取值的 ，使得关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为（    ）
A．     B．     C．     D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．已知 ，其中 为虚数单位．若 ，则 ________； ________．
12．函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 ________；不等式 的解集为________．
13．已知 ，则 ________；
 ________．
14．已知盒中装有 个红球和3个黄球，从中任取2个球（取到每个球是等可能的），随机变 表示取到黄球的个数，且 的分布列为：
 
0    1    2
 
 
 
 

则 ________； ________．
15．已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________．
16．已知直线 与 轴交于点 ， 为直线 上异于 的动点，记点 的横坐标为 ．若椭圆： 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是________．
17．已知不共线向量 ， 满足 ，且 ，向量 ， 的夹角为 ，若 ，则 的最小值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值．
19．（本题满分15分）
如图，四棱锥 中， 为等边三角形， 平面 ， 且 ， 为 中点．
 
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（本题满分15分）
已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
21．（本题满分15分）
如图，已知抛物线 ， 的焦点分别为 ， ，且 ．
 
（1）当 最短时，求直线 的方程；
（2）设抛物线 ， 异于原点的交点为 ，过点 作直线 ，分别交 ， 于 ， 两点，其中直线 的斜率 ，且点 为线段 的中点．当 最短时，求抛物线 ， 的方程．
22．（本题满分15分）
已知函数
（1）当 ， 时，求 在 处的切线方程；
（2）当 时， 的最小值为0，求 的最小值．

2020年嘉兴市高三教学测试
高三数学  参考答案（2020.9）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．D；  2．B；  3．A；  4．C；  5．D；  6．C；  7．B；  8．A；  9．D；  10．C．
10．提示
显然 ，否则 ，于是 ，即 ，这与不等式的解集为 矛盾．又易知 时，不等式 恒成立．于是仅需再分析 的情形．易知 ，由 知 或 ，所以 ．所以原问题等价于关于 的方程 有两解，进而由函数图像易知 ．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空悬每题4分，共36分）
11． ；     12．2；     13．0；     14．3；1    15．4
16．     17．
17．提示：
 ，变形得
 ，两边平方得 ，
再两边平方得 ，所以 ．
三、解答题
18．解：（1）由 得 ，所以
 ，即 ，又 ，解得， ．
（2）由余弦定理得 ，即 ，解得 ，即 ．
19．解（1）延长 交 的延长线于 ，连接 ．因为 且 ，所以 为 中点．又 为 中点，所以 ．又 平面 ， 平面 ，于是 平面 ；
（2）方法一：由 且 为 中点知 ．因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，又 ，于是 平面 ．由 平面 得平面 平面 ．连接 ，显然 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ．连接 ，所以 即为直线 与平面 的所成角．由 ，则 ，所以在 中， ．
方法二：取 的中点 ，连接 ．由 及 平面 得 平面 ．如图建立空间坐标系 ，易得 ， ，
 
于是 ， ，设平面 的一个法向量 ，于是
 ，令 ，解得 ，
所以 ．又 ，设直线 与平面 的所成角的大小为 ，所以 ．
20．解：（1）当 时， ，得
当 时， ，相减得 ，变形得 ，
又∵ ，∴ ，即∴
（2） ，于是
 
 ，令
即 ．
 ①
 ②
① ②得
 
∴
∴ ．
21．解：（1）  ，等号当且仅当 时成立．此时 的方程为 ．
（2）方法一：设 ，则 ，解得 ．进一步 ，于是 ， ．设 ，联立 得 ，于是 ， ，解得 ． ，联立 得 ，于是 ， ，解得 ， ．所以 ，整理得 ，即 ．令 ，换元得 ，所以 ，于是 ．
又  ，当且仅当 时等号成立．所以 ，此时 ， ．
方法二：设 ，则 ，解得 ，进一步得 ，于是 ， ．由 知 ，即 ．又 ．所以 ，整理得 ．令 ，则 ，解得 或 （舍）或 （舍）．于是 ， ．
所以 ，当且仅当 时等号成立．所以 ，此时 ， ．
方法三：设 ， ，由 为线段 的中点，于是 ．因为 ， 均在抛物线 上，所以 ，
再由 化简得
消去 得 ，即
令 ，得 ，解得 ，于是 ， ．
所以  ，当且仅当 时等号成立．所以 ，此时 ， ．
22．解：（1） ，所以 ，又 ，于是切线方程为 ，即 ．
（2）方法一： ，进而 ，于是易知 在 上单调递减，在 上单调递增．所以
（Ⅰ）当 即 时
由 知 在 上单调递增．又 ，所以 ．这与 在 有解矛盾．
（Ⅱ）当 即 时
易知存在 ， ，使得 ，且 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
所以原问题等价于 ，整理得
所以 ，由 得 ．令 ，
显然 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，于是 ，即 的小值为 ．
方法二：∵ ，∴ 的最小值为0等价于 的最小值为0．
令 ，即
由 得，存在唯一 ，使得 ，即 ，所以 在 单调递减， 单调递增，因此 ，将 代入得 ，即 ，所以 ，由 ，得 ．
令 ，显然 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，是 ，即 的最小值为 ．