江苏省苏州市2021高三数学上学期初试题(带答案的Word版)
苏州四市五区2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷
数学2020.9
一、单项选择题.
1．集合 ， ，则 （ ）
A．(1，3) B．(1，3] C． D．
2．复数 满足 ，则 在复平面表示的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．-32 B．32 C．-8 D．8
4．已知随机变量服从正态分布 ，若 ，则 为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
5．在 中， ， ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为 （单位： ），鲑鱼的耗氧量的单位数为 ．科学研究发现 与 成正比.当 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当 时，其耗氧量的单位数为（ ）
A．1800 B．2700 C．7290 D．8100
7．如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题不正确的是（ ）
A．直线 与平面 所成的角等于
B．点 到面 的距离为
C．两条异面直线 和 所成的角为
D．三棱柱 外接球半径为
8．设 ， ，且 ，则 （ ）
A．有最小值为4 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
二、多项选择题.
9． ， 是不在平面 内的任意两点，则（ ）
A．在 内存在直线与直线 异面 B．在 内存在直线与直线 相交
C．存在过直线 的平面与 垂直 D．在 内存在直线与直线 平行
10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．当 时，函数 单调递增
C．当 时， 的最大值为 D．当 时，
11．把方程 表示的曲线作为函数 的图象，则下列结论正确的有（ ）
A． 的图象不经过第三象限
B． 在 上单调递增
C． 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数 不存在零点
12．数列 为等比数列，则（ ）
A． 为等比数列
B． 为等比数列
C． 为等比数列
D． 不为等比数列（ 为数列 的前 项和）
三、填空题.
13．已知 ，则 ________.
14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以 为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为________.
15．直线 将圆 ： 分割成两段圆弧之比为3:1，则 ________.
16．已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的最小值为________.
四、解答题.
17．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， 的面积为 .
现有以下三个条件：① ；② ；
③ .请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上（填具体内容），并求解.
已知向量 ， ，函数 ，在 中， ，且________，求 的取值范围.
18．已知各项均不相等的等差数列 的前4项和为10，且 ， ， 是等比数列 的前3项.
（1）求 ， ；
（2）设 ，求 的前 项和 .
19．如图，在四棱锥 中， 是边长为4的正方形， 平面 ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
20．某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为 ， ， ， ， 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校生物学科获得 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
原始分 91 90 89 88 87 85 83 82
转换分 100 99 97 95 94 91 88 86
人数 1 1 2 1 2 1 1 1
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分 服从正态分布 ．若 ，令 ，则 ，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记 为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求 取得最大值时 的值.
附：若 ，则 ， .
21．如图，已知椭圆 的长轴两端点分别为 ， ， 是椭圆上的动点，以 为一边在 轴下方作矩形 ，使 ， 交 于点 ， 交 .于点 .
（1）若 ， 的最大面积为12，离心率为 ，求椭圆的方程；
（2）若 ， ， 成等比数列，求 的值.
22．已知函数 .
（1）求证： 的导函数 在 上存在唯一零点；
（2）求证： 有且仅有两个不同的零点.
苏州市2020~2021学年第一学期学业期初研卷
高三数学参考答案及评分建议2020.9
一、单项选择题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C D D C B
二、多项选择题.
题号 9 10 11 12
答案 AC AD ACD BCD
三、填空题.
13． 14． 15． 16．54
四、解答题.
17．解： ，
，
①若 ，则由正弦定理可得： ，即 ，
因为 为三角形内角， ，可得 ，因为 ，
可得 .
②若 ，由正弦定理可得： ，由余弦定理可得 ，因为 ，可得 .
③若 ，则 ，所以 ，可得 ，因为 ，
可得
由正弦定理可得 ，
所以 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，
，因为 ，所以 ， ，所以 ，即 的取值范围为
18．解：（1）设数列 的公差为 ，
由题意知： ①
又因为 ， ， 成等比数列，所以 ， ， ，又因为 ，所以 .②
由①②得 ， ，所以 ，
， ， ，∴ .
（2）因为 ，
所以
所以数列 的前 项和 .
19．解：（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别为 ， 的中点， ，且 ，
又底面 为正方形，且 为 中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 不在平面 内， 在平面 内，
∴ 平面 ；
（2）以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间坐标系 ，则 ， ， ， ，故
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，可取 ，
设二面角 的平面角为 ，则
，
∴ ，即二面角 的正弦值为 .
20．解：（1）随机变量 的所有可能的取值为0，1，2，3，
根据条件得 ， ，
，
则随机变量 的分布列为
0 1 2 3
数学期望 .
（2）①设该划线分为 ，由 得 ， ，
令 ，则 ，
依题意， ，即 .
因为当 时， ，所以 ，
所以 ，故 ，取 .
②由①讨论及参考数据得 ，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
故 ， .
由
即
解得 ，
又 ，所以 ，
所以当 时 取得最大值.
21．解：（1）如图，当 时， 过点 ， ，
当点 为 时 的面积最大，即有 ，
∴ .①
由已知离心率为 ， ， ， ②
由①②解得 ， .
∴所求椭圆方程为 .
（2）如图，由题意得： ， .因为 在椭圆上，所以 .
又直线 方程为 ，令 ，
解得 ，同理可得 ，
所以 ，
，
.
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，化简得：
又 ，所以 ，代入 式得 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
22．解:（1）设 ，
当 时，
所以 在 上单调递减，
又因为 ，
且当 时， 的图像不间断，
所以 在 上有唯一的零点 ，所以命题得证
（2）1°由（1）知：当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
所以 在 上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以 在 上恰有一个零点
又因为
所以 在 上也恰有一个零点
2°当 时， ，
设 ， ，
所以 在 上单调递减，所以
即 在 上没有零点
3°当 时，
设 ，
所以 在 上单调递减，所以
所以当 时， 恒成立
所以 在 上没有零点.
综上， 有且仅有两个零点.