江苏省南京大学附属2021高级中学数学上学期试题(一)(带答案的Word版)

2020-2021学年度第一学期高三阶段检测（一）
数学试卷
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
3.考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合，则A∪B=          （    ）
A．     B．
C．     D．
2．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 (      )
A．    B．    C．    D．
3．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为(      )
A.      B.      C.      D.
4．已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时， >0，若F(x)＝f(x)＋ ，则函数F(x)的零点个数为(      )
A.0               B.1             C.2             D.0或2
5.函数的图象大致为（     ）
A． B． C． D．
6．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象（  ）
A．向右平移个单位长度    
B．向左平移个单位长度    
C．向右平移个单位长度    
D．向左平移个单位长度
7．已知a=，b=ln，，c=则（  ）
A．a＞b＞c    B．c＞a＞b
C．b＞a＞c    D．b＞c＞a
8．南京某学校为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（    ）
A．8号学生    B．200号学生    C．616号学生    D．815号学生
二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9.已知f(x)＝sin2x，g(x)＝cos2x，下列四个结论正确的是（    ）
A.f(x)的图象向左平移 个单位长度，即可得到g(x)的图象
B.当x＝ 时，函数f(x)－g(x)取得最大值
C.y＝f(x)＋g(x)图象的对称中心是( ，0)，k∈Z
D.y＝f(x)·g(x)在区间( ， )上单调递增
10.已知函数f(x)＝ ，则下列结论正确的是（    ）
A.函数f(x)不存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝ ，则t的最大值为2
11．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）
A.A、M、N、B四点共面                B.BN∥平面ADM
C.直线与所成角的为         D．平面平面
12．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
A．的值可以为2；         B.的值可以为；  
C.的值可以为 ；     D. 的值可以为2-
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|mx+1＝0}，且M∩N＝N，则实数m的值为     
14. 函数f（x）＝loga（4x﹣3）（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标是   ．
15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
16．已知双曲线 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______________
四、解答题:本题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．
17.已知函数f(x)=2(x+)+sin2x.
(1)若f(α)=1，α∈(0,π)，求α的值；
(2)求f(x)的单调增区间。

18.如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且
（1）求证：对任意的，都有
（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

19.已知函数f(x)=，m∈R，x>1.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)

20.在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付。出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”。
 
(1)根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?
(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ζ，求随机变量ζ的期望。
(3)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折。如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?
附：

21．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝，且y＝f（x）的图象过点（,）和点（，﹣2）
（1）当 时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，求实数m的取值范围

22．已知函数（，且），且.
（1）求的值，并写出函数的定义域；
（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷答案
数学
1.A   2.C  3.C   4.A  5.A   6.C   7.B   8. C  9.CD   10.BCD    11.CD       12.BC  
13. m＝o或-或   14（1，0）  15.       16.   
17.解答：
f(x)=1+cos(2x+)+sin2x
=1+cos2xcos−sin2xsin+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=sin(2x+)+1

(1)f(α)=sin(2α+)+1
=1，
∴sin(2α+)=0；2α+=kπ，α=− (k∈z)，
又∵α∈(0,π)∴α=或
(2)f(x)单调增，故2x+∈[2kπ−,2kπ+]，
即x∈[kπ−,kπ+](k∈Z)，
从而f(x)的单调增区间为[kπ−,kπ+](k∈Z).

18.证明：如图1，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE·········4分
（Ⅱ）如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,
SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。
 又底面ABCD是正方形，CD⊥AD，而SDAD=D，CD⊥平面SAD.
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=。
在Rt△BDE中， BD=2a，DE=， ，
    
在Rt△ADE中,
从而
在中，.

由，解得，即为所求.

19.
(Ⅰ)f′(x)=,x>1
当1−m⩽0时,即m⩾1时,1−m−lnx⩽0在[1,+∞)上恒成立，
所以f(x)的单调减区间是[1,+∞),无单调增区间.
当1−m>0时,即m0得x∈(1,).
由f′(x)
所以f(x)的单调减区间是(,+∞),单调增区间是(1,]
(Ⅱ)由题意,lnx1恒成立，
令g(x)=lnx−m(−1),x>1,(x)
g′(x)=−2mx=,x>1
①m⩽0时,g′(x)>0,(x>1),g(x)在(1,+∞)递增，
∴x>1,g(x)>g(1)=0,舍去
②m⩾时,g′(x)1),g(x)在(1,+∞)递减，
∴x>1,g(x)
③01),解得：x=，
故x∈(1,时,g′(x)>0,g(x)递增,g(x)>g(1)=0,(舍去)，
综上,m⩾

20.（1）由已知得出联列表：
                   
所以 ，                
（必须保留小数点后三位，否则不给分）
  有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；                     
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为 ，  ，
                                             
（3）若选方案一，则需付款 元                       
若选方案二，设实际付款 元，，则 的取值为1200，1080，1020，
 ， ， ，         
                      
 选择第二种优惠方案更划算                        

21．解：（1）由题意知，f（x）＝•＝msin2x+ncos2x，
根据y＝f（x）＝的图象过点（和（，﹣2），
得到
解得m＝，n＝1；
f（x）＝••＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
当﹣≤x≤时，﹣≤2x+≤，
∴﹣1≤2sin（2x+）≤2；
∴函数y＝f（x）的最大值为2，此时x＝，
最小值为﹣1，此时x＝﹣；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得函数y＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得函数y＝g（x）＝2sin（﹣）的图象，
令t＝﹣，t∈[﹣，]，如图所示，
当≤sint＜1时，g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，
∴≤2sin（ – ）＜2，
则实数m的取值范围是≤m＜2．
 

22．【详解】(1)，；
(2)       ∴ ∴
     ∴为奇函数；
(3)       ∴ 是单调递增函数
  ∴  ∴  ∴
令    时上式为增函数   ∴   ∴
又∵    ∴              综上.