江苏省溧阳中学2021高三数学上学期开题试题(带答案的Word版)

江苏省溧阳中学2021届高三（上）期初考试数学试卷
2020.8.28
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合 ， ，则 （    ）
A.     B.     C.     D.
2.在 的展开式中， 的系数为（    ）
A.-5    B.5    C.-10    D.10
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）
A.120种    B.90种    C.60种    D.30种
4.函数 的图象大致为（    ）
A.     B.
C.     D.
5.已知a，b为正数，且直线 与直线 互相平行，则 的最小值为（    ）
A.13    B.16    C.19    D.25
6.甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球5、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A为“四名同学所选项目各不相同”，事件B为“只有甲同学选羽毛球”，则 （    ）
A.     B.     C.     D.
7.设双曲线C的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 .若C的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线C的方程为（    ）
A.     B.     C.     D.
8.已知函数 ，若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（    ）
A.     B.
C.         D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间 服从正态分布 ，则（    ）
（附： ， ， ， .）
A.该校学生每周平均阅读时间为9小时；
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4；
C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%；
D.若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.
10.已知函数 ，则（    ）
A.函数 的图象可以由 的图象向左平移 得到；
B.函数 的图象关于点 对称；
C.函数 的图象关于直线 对称；
D.函数 在 上单调递增
11.如图，设E，F分别是正方体 的棱 上两点，且 ， ，其中正确的命题为（    ）
 
A.三棱锥 的体积为定值；    B.异面直线 与 所成的角为60°；
C. 平面 ；    D.直线 与平面 所成的角为30°
12已知函数 ，以下结论正确的是（    ）
A.
B. 在区间 上是增函数；
C.若方程 恰有3个实根，则 ；
D.若函数 在 上有6个零点 ，则 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线 被圆 截得的弦长为_________________.
14.等差数列 中， ， ，若数列 的前n项和为 ，则n的值为____________.
15.已知四棱锥 的顶点都在球O的球面上，底面 是边长为2的正方形，且 平面 .若四棱锥 的体积为 ，则球O的表面积为___________________.
16.如图，在四边形 中， ， ， ，且 ， ，则实数 的值为____________，若M，N是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_____________.
 
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知 是等差数列，且公差 ， 是等比数列，且 ， ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
18.（本小题满分12分）
在 中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列.
（1）若 ， ，求 的值；
（2）求 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 与 交于点G， .
 
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ， ，E为 的中点，求二面角 的大小.
20.（本小题满分12分）
椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为F，且 ，且O为原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点C满足 ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线 与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段 的中点，求直线 的方程.
21.（本小题满分12分）
携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为 ，服务水平的满意率为 ，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.
（1）完成下面2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；
    对服务水平满意人数    对服务水平不满意人数    合计
对业务水平满意人数            
对业务水平不满意人数            
合计            
（2）为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；
（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？
附： ， .
 
0.10    0.05    0.025    0.010    0.005    0.001
 
2.706    3.841    5.024    6.635    7.879    10.828
22.（本小题满分12分）
已知函数 ， .
（1）若 ，求证： 在 恒成立；
（2）讨论 的单调性；
（3）求证：当 时， .
江苏省溧阳中学2021届高三（上）期初考试数学答案
2020.8.28
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.B
【解析】因为 ， ，所以
2.C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以
3.C
【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有 种
4.A
【解析】因为 ，所以 为奇函数，排除C，D
当 时， ，
当 时， ，
所以选A.
5.D
【解析】因为两直线平行，所以 ，所以 ，所以 ，所以
6.B
【解析】事件 ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，
所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为
事件B：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为 .
 
7.D-
【解析】因为一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，
所以 ， ，所以
8.D
【解析】
注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根，令 ，即 与 的图象有3个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有2个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有3个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上，k的取值范围为 .
故选：D.
 
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.AD
【解析】因为 ，
所以 ， ， .
对称轴 ，根据图像对称性可以判断AD正确.
l0.ABD
【解析】
A.左平移 得到 ，注意平移时要先提出 前面的系数2，所以A对；
B. ， ，所以 ， ，所以 时，对称中心为 ，所以B对；
C. ， ，所以 ， ，所以取不到 ，所以C错；
D. ，所以单调递增区间为 ，所以D对.
11.AD
【解析】把平面 补成平面 即可.
12.ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.4
14.16
15.
【解析】∵四棱锥 的体积 ，∴ ， ， ，球O的表面积： .
16. ，
【解析】
∵ ，∴ ，∴ ，
 ，解得 .
以点B为坐标原点， 所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，
 
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴A的坐标为 ，
又∵ ，则 ，设 ，则 （其中 ）， ， ，
 ，
所以，当 时， 取得最小值 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
【解析】（1） 是等差数列，且公差 ， 是公比为q的等比数列，
且 ， ， .
可得 ， ，
解得 ， （ ， 舍去），
则 ； ；
（2） ，
可得前 项和
 
18.（本小题满分12分）
【解析】（1）∵A，B，C成等差数列，∴ ，
三角形 中 ，∴
∵ ，∴ ，∴ ，即
∵ ，
∴ ，即
∴ ，所以
（2）
∵ ，∴
∴ 的取值范围是
19.（本小题满分12分）
【解析】（1）证明：连结 ，∵底面 为菱形，∴G为 的中点.
又 ，∴ .
又 ， 平面 ， ，∴. 平面 .
又 平面 ，∴平面 平面 .
 
（2）解：连结 .
∵ ，且G为 的中点，∴ .
又 ， 平面 ， .
∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ ，
∴ 是二面角 的平面角，
由题意 ，在 中， ，∴ ，
∵ ， ，∴二面角 的大小为 .
20.（本小题满分12分）
【解析】（1）∵椭圆 的一个顶点为 ，∴ ，
由 ，得 ，又由 ，得 ，
所以，椭圆的方程为 ；
（2）∵直线 与以C为圆心的圆相切于点P，所以 ，
根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，即 ，
 ，消去y，可得 ，解得 或 .
将 代入 ，得 ，
所以，点B的坐标为 ，
因为P为线段 的中点，点A的坐标为 ，所以点P的坐标为 ，
由 ，得点C的坐标为 ，直线 的斜率为 ，
又因为 ，所以 ，整理得 ，解得 或 .
所以，直线 的方程为 或 .
21.（本小题满分12分）
【解析】
    对服务水平满意人数    对服务水平不满意人数    合计
对业务水平满意人数    180    80    260
对业务水平不满意人数    20    20    40
合计    200    100    300
（1）由题意知对业务满意的有260人，对服务不满意的有100人，得2×2列联表
经计算得 ，
所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关.
（2） 的可能值为0，1，2.
则 ， ， ，
 
0    1    2
 
 
 
 

 .
（3）在业务服务协议终止时，
对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为 ，
只有一项满意的客户流失的概率为 ，
对二者都不满意的客户流失的概率为 .
所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为 ，
故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为 .
22.（本小题满分12分）
【解析】解：（1）当 时，
设 ，
 ，
所以 在 恒成立， 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 恒成立.
（2） ，
令 ，即 ，
 ，解得 或 .
若 ，此时 ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增.
若 ，此时 ，方程 的两根为 ，且 ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增.
若 ，此时 ，方程 的两根为 ，且 ，
所以 在 上单调递增.
综上，若 ， 在 单调递增
若 ， 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减.
（3）由（1）可知 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
下证 ，即证 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
即当 时， .