我爱孩子 新闻 湖南省衡阳一中2021届高三数学上学期第一次月考试题(Word版附答案)

湖南省衡阳一中2021届高三数学上学期第一次月考试题(Word版附答案)

湖南衡阳一中,2021高中数学,上学期第一次月考题(Word版附答案)

衡阳一中2021届高三第一次月考
数学试卷
总分:150分  时间:120分钟
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则(    )
A.            B.           C.          D.
2.已知命题p:关于x的函数 在 上是增函数,命题q:函数 为减函数,若 为真命题,则实数a的取值范围是(    )
A.             B.            C.            D.
3.命题“ , ”为真命题的一个充分不必要条件是(    )
A.              B.           C.          D.
4.已知函数 ,则 的值为(    )
A.             B.             C.            D.-54
5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是(    )
 
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油速度
6.函数 的大致图象为(    )
A.    B.   C.   D.
7.已知 , ,则实数a,b,c的大小关系是(    )
A.            B.           C.             D.
8.设函数 ,若函数 有最小值,则实数a的取值范围是(    )
A.             B.              C.           D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.下列命题中,是真命题的是(    )
A.已知非零向量 , ,若 ,则
B.若 , ,则 ,
C.在 中,“ ”是“ ”的充要条件
D.若定义在R上的函数 是奇函数,则 也是奇函数
10.若 , , ,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(    )
A.          B.         C.          D.
11.已知函数 ,下列四个命题正确的是(    )
A.函数 为偶函数函数
B. 在 上为单调递增函数
C.若 ,其中 , , ,则
D.若 ,则
12.在平面直角坐标系xOy中,如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点 的轨迹方程是 ,则对函数 的判断正确的是(    )
 
A.函数 是偶函数
B.函数 在 上有两个零点
C.函数 在 上单调递增
D.对任意的 ,都有
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数 的定义域是 ,则函数 的定义域是________.
14.若关于x的不等式 在区间 上有解,则实数a的取值范围为________.
15.若两个正实数x,y满足 ,且 恒成立,则实数m的取值范围是________.
16.已知函数 ,其中 ,若动直线 与函数 的图象有三个不同的交点,且它们的横坐标分别为 , , ,则 的最大值是________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在 中,设角A,B、C的对边分别为a,b,c,已知 .
(1)求角C的大小;
(2)若 ,求 面积的最大值.
18.已知正项等差数列 中, 为其前n项和, , ,等比数列 的前n项和 .
(1)求数列 , 的通项公式;
(2)设 ,求数列 的前n项和.
19.如图,等腰梯形ABCD中, , , ,E为CD中点,以AE为折痕把 折起,使点D到达点P的位置( 平面ABCE)
 
(1)证明: ;
(2)若线段PC的长为 ,求二面角 的余弦值.
20.近年来,国资委、党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:
土地使用面积(单位:亩)    1    2    3    4    5
管理时间(单位:月)    8    10    13    20    24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:
    愿意参与管理    不愿意参与管理
男性村民    150    50
女性村民    50    
(1)求出相关系数r的大小,并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关?(保留三位小数)
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关?
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据:
 , ,其中 , .
 
0.10    0.05    0.025    0.010    0.001
 
2.706    3.841    5.024    6.635    10.828
21.已知椭圆 的离心率为 ,其右顶点为A,下顶点为B,定点 , 的面积为3,过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于PQ两点,直线BP,BQ分别与x轴交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值,说明理由.
22.已知函数 , .
(1)当 时,不等式 成立,求整数m的最大值.
(2)证明:当 时, .
(参考数据: , )
衡阳市第一中学2021届高三第一次月考数学参考答案
选择题
题号    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12
答案    B    C    A    B    D    C    A    D    ABD    ABCD    ACD    AB
填空题
13.         14.         15.         16.1
解答题
17.解:(1)由题意知
即 ,由正弦定理得 ,
由余弦定理得 ,又∵ ,∴ .
(2)∵ ,∴ ,当且仅当 时取等号,
又 ,则 面积的最大值为 .
18.解:(1) ,又 , 或 , .
则 或 ,又数列 为正项数列,则
当 时, ;当 时, 也满足上式,∴ .
(2)由题可知, , ,记数列 的前n项和为 ,
 ,
 
 ,故 .
19.解:(1)在等腰梯形ABCD中,连接BD,交AE于点O,
∵ , ,∴四边形ABCE为平行四边形,∴ ,
∴ 为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD中, ,
 ,∴在等腰 中,
∴ ,即 ,∴ ,
翻折后可得: , ,又∵ 平面OB, 平面POB, ,
∴ 平面POB,∵ 平面POB,∴ ;
(2)由(1)知 ,连接OC在 中,由余弦定理可得 .
在 中有 ,可知 ,又 ,
 平面ABCE,则以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为乙轴,建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为,
 , , ,∴ , .
设平面PCE的一个法向量为 ,则
 ,∴ .
设 ,则 , ,∴ ,
由题意得平面PAE的一个法向量 ,
设二面角 为 , .
易知二面角 为钝角,所以 .(射影面积法也可)
 
20.解:(1)依题意: , ,
故 , , ,则
 
故管理时间y与土地使用面积线性相关.
(2)依题意,女性村民中不愿意参与管理的人数是50,计算得 的观测值为
 .
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关.
(3)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,从该贫困县中随机抽取一名,则取到愿意参与管理的男性村民的概率为 .
 , , ,
故x的分布列为
X    0    1    2    3
P    
 
 
 

则数学期望为 .
21.(1)由已知,A,B的坐标分别是 , 由于 的面积为3,
∴ ,又由 得 ,解得: ,或 (舍去),
∴ , ,∴椭圆方程为 ;
(2)设直线PQ的方程为 ,P,Q的坐标分别为 , .
则直线BP的方程为 ,令 ,得点M的横坐标 .
直线BQ的方程为 ,令 ,得点N的横坐标 .

把直线 代入椭圆 得 .
由韦达定理得 , .
∴ ,是定值.
22.解:(1)当 时, ,令 ,则 .
因此 在 上为增函数,又 , ,
∴ 使得 ,即 ,
当 时, , 为减函数;当 时, , 为增函数;
∴ ,所以整数m的最大值为3.
(2)法一:要证 ,即证 ,
令 ,则 .
令 ,则 , ,
∵ ,∴ 在 上为增函数,又 ,∴ ,
∴ 在 上为增函数,又 ,∴ ,
∴ 在 上为增函数,又 ,∴ ,即 ,
∴ 在 上为增函数,∴ ,故 .
法二:放缩法.

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