九年级数学上册24.2点与圆、直线与圆的位置关系24.2.2二班切线的判断与性质(新教育版)

第二类切线的判定和性质

教学目标

(1)教学知识点

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1..可以判断直线是否与圆相切。

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2..通过圆上的一点画圆的切线。

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3..可以做三角形的内切圆。

(二)能力培训要求

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1..通过判断直线是否与圆相切来训练学生的推理和判断能力。

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2..可以在圆上的一点画圆的切线，培养学生的绘画能力。

(3)情感和价值观的要求

【/h/】在经历了观察、实验、猜想、证明等数学活动后，发展出合理的推理能力和初步的演绎推理能力，能够有条理、清晰地阐述自己的观点。

【/h/】体验探索圆与直线位置关系的过程，掌握图形的基本知识和技巧，解决简单问题。

教学重点

探索确定圆切线的方法并应用。

三角形内切圆的方法。

教学困难

探索确定圆切线的方法。

教学法:师生共同探索。

准备教具

教学过程

ⅰ.创造问题情境并介绍新课程

【/h/】【老师】上节课，我们学习了直线与圆的位置关系，圆的切线性质，了解到直线与圆的位置关系有三种:分离、相切、相交。判断直线与圆的位置关系属于哪一种，可以通过比较公共点的个数以及圆心与直线的距离和半径来判断，也可以掌握圆的切线性质和切线与切点垂直的直径。

从上面可以看出，判断直线与圆相切有两种方法。只有他们两个吗？这节课我们将继续探讨切线的判断条件。

ⅱ.新课讲解

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1..探索正切
的判断条件

幻灯片(3.5.2a)

【/h/】如下图所示，AB为⊙O的直径，直线L经过A点，L与AB的夹角≈α。当L绕A点旋转，

(1)随着≈α的变化，点o到l的距离d是如何变化的？直线l和⊙O的位置关系是如何变化的？

(2)当≈α等于多少度时，点o到l的距离d等于半径r？这时直线l和⊙O的位置关系是怎样的？为什么？

[老师]可以先画一个圆和一个直径AB，把尺子当成一条直线，让尺子绕a点移动，观察当≈α变化时，O点到L点的距离D是如何变化的，然后互相交换意见。

[健康](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到L的距离为d1，D1 < R，则直线l1与⊙O的位置关系相交；当直线l1顺时针旋转到L位置时≈α由锐角变为直角，点O到L的距离为D，D = R，则直线L与⊙O的位置关系为切线。当直线L继续旋转到l2位置时≈α由直角变为钝角，点O到L的距离为d2，D2 < R，此时直线L与⊙O的位置关系分离。

老师给出了一个精彩的答案。根据旋转，随着≈α由小变大，点O到L的距离D也由小变大。当≈α= 90°时，D达到最大。此时，D = R；之后，当≈α继续增大时，D逐渐减小。问题(2)解决了。

[健康](2)当≈α= 90°时，点O到L的距离D等于半径。此时直线L与⊙ O的位置关系是相切的，因为从上一课来看，当中心O到直线L的距离D = R时，直线与⊙O相切.[/]

[老师]从以上分析可知，当直线l与直径的关系满足时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流。

[raw]直线l垂直于直径AB，经过直径一端的一点。

[老师]很好。这给出了确定圆的切线的另一种方法:通过直径一端的直线是圆的切线。

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2..做某事

已知⊙O上有一个点a，且⊙O的切线是通过a作出的.

【/h/】分析:根据刚才讨论的圆的切线的第三个判断条件，穿过直径的一端并垂直于直径的直线是圆的切线。现在已知圆心o和圆上的a点，就可以确定通过a点的直径，然后就可以作出直径的垂线。请自己动手。

[健康]如下。

(1)连接OA。
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(2)交点A作为OA的垂直线L，L为切线。

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3..如何做三角形的内切圆？

幻灯片(3.5.2b)

【/h/】如下图所示，能否用三角形的材料切一个圆，使其与四面相切？

【/h/】分析:假设已经做出了具有符号条件的圆，其中心到三角形三条边的距离相等。所以中心在三角形三个角的平分线上，半径就是中心到三条边的距离。

解:(1)做≈B和≈C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)。

(2) I用作ID⊥BC，竖脚为D.
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(3)以I为中心，ID为半径做⊙ i.

⊙I是想要的圆。

【/h/】【老师】从例子来看，BE和CF只有一个交点I，I到△ABC的距离相等。为什么？

[raw]∫I在≈b的平分线BE上，∴ id = im，而∫I在≈c的平分线CF上，∴ id = in，∴ id = im = in。

[老师]因此，可以做一个与三角形三条边都相切的圆，因为三角形三个内角的平分线相交于一点，即三角形的中心。这个点到三角形三条边的距离相等，这个距离就是半径。圆心和半径都确定的圆只有一个，只能做一个。这个圆叫做三角形内切圆。

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4..示例说明

幻灯片(3.5c)

【/h/】如下图，AB是⊙O的直径，abt = 45，at = ab。

证明:AT是⊙ O的正切.

分析:at通过直径的一端，所以只需要证明AT垂直于AB，已知条件表明AT = AB，所以≈ABT =≈ATB，且≈ABT = 45，所以ATB = 45。

由三角形内角和可证tab = 90，即在⊥ ab。

请写出自己的步骤。

[健康]证明:ab = at，∠ abt = 45。

∴∠ATB=∠ABT=45。

∴∠TAB=180 -∠ABT-∠ATB=90。

∴AT⊥AB，即AT为⊙ o的切线.

ⅲ.课堂练习

课堂练习

ⅳ.课时总结

这一课学到了以下几点:

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1..探索切线的判断条件。

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2..圆的切线将穿过圆上的一点。

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3..可以做三角形的内切圆。

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4..了解三角形的内切圆和三角形的内在概念。

ⅴ.课后作业

练习3.8
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ⅵ.活动和探索

【/h/】已知AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC与和弦AD平行。
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证明:DC是⊙ O的正切.

【/h/】分析:证明DC是⊙O的切线，需要证明DC垂直于过切点的直径或半径，所以需要做一个辅助线半径OD，利用平行关系推导∠ 3 = ∠ 4，并且因为OD = OB和OC是公共边，△CDO≑△CBO，所以∠

证书:链接OD。
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∵OA=OD,∴∠1=∠2，

∵AD∥OC,∴∠1=∠3,∠2=∠4.

∴∠3=∠4.

* OD = OB，OC=OC，

∴△ODC≌△OBC.

∴∠ODC=∠OBC.

∵BC是⊙O的正切，

∴∠OBC=90。

∴∠ODC=90。

∴DC是⊙ O的正切。