八年级数学第一卷15.3分数方程第一课时分数方程解法教案(新教育版)

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15.3分数方程

第一类分数方程的解

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1..理解分数方程的含义。

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2..了解分数方程的基本思想和解法。

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3..了解求解分数方程可能无解的原因，掌握求解分数方程的根检验方法。

强调

求解分式方程的基本思路和解法。

困难

理解为什么解分数方程时可能没有解。

首先，回顾和介绍

【/h/】问题:船舶在静水中的最大航速为30 km/h，以最大航速顺流航行90 km的时间等于以最大航速逆流航行60 km的时间。这条河的流速是多少？

[分析]假设河水流速为X km/h，根据问题的意思，为= =。①
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方程①有什么特点？

[Summary]等式①包含分数，分母包含未知数。像这样的方程叫做分数方程。

问题:能举个分数方程的例子吗？

判别:确定下列哪种类型是分数方程。

(1)x+y = 5；(2)=；(3)；(4)= 0；(5)+2x=5。

根据定义:(1)(2)是积分方程，(3)是分数方程，(4)(5)是分数方程。

第二，探索新知识

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1..思考:分数方程怎么解？

为了解决这个问题，请先思考并回答以下问题:

(1)复习解一维线性方程时如何去掉分母，能从中得到一些启发吗？

(2)有什么方法可以去掉分数方程的分母，转化成一个完整的方程？

[让学生自主探索，合作学习，做总结]

方程①可解如下:

等式两边乘以(30+V) (30-V)，去掉分母，使90 (30-V) = 60 (30+V)。

求解整个方程，得到v = 6。

因此，河水的流动性为6 km/h.

[摘要]上述求解分数方程的过程，本质上是将方程的两边用同一个代数表达式相乘，减少分母，将分数方程转化为一个整体方程来求解。相乘的代数表达式通常取方程中出现的每个分数的最简单的公分母。

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2..例1解方程:= =。②
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解:方程的两边相乘(x2-25)，去掉分母得到x+5 = 10。

解这个积分方程，得到x = 5。事实上，当x = 5时，原分数方程的左右分母(x-5)和(x2-25)都为0，方程中出现的两个分数都是无意义的。因此，x = 5不是分数方程的根，应该丢弃，因此原始分数方程没有解。

解分式方程的步骤:

【/h/】分数方程转化为整方程时，方程两边乘以一个带未知数的代数表达式，分母减少，有时可能会产生不适合原分数方程的解(或根)。这种根通常称为增广根。所以在解分数方程的时候一定要检验。

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3..那么，“增根”的可能原因是什么呢？

当分数方程去掉分母时，方程的两边要乘以同一个未知数的公式(最简单的公分母)。方程①的两边乘以(30+V) (30-V)得到整个方程，其解V = 6。当V = 6时，(30+V) (30-V) ⊰

方程②的两边乘以(x-5) (x+5)，得到整个方程，其解x = 5。当x = 5，(x-5) (x+5) = 0时，也就是说去掉分母后，方程②的两边乘以等于0的同一个公式，然后得到的整个方程的解就使得

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4..根检查方法:

求解分数方程的检验关键是看得到的积分方程的根是否使原分数方程中分数的分母为零。有时候为了简单起见，可以代入相乘后的代数表达式(即最简单的公分母)，看看它的值是否为零。如果为零，则是增根。

如果将例1中的x = 5代入x2-25 = 0，可以看出x = 5是原分式方程的加性根。

三.示例分析

例2(课本例1)解出方程= =。
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解:将方程两边乘以x (x(x-3)，得到2x = 3x-9。

x = 9。

测试:当x = 9时，x (x-3)为0。

因此，原分数方程的解是X = 9。

例3(课本例2)解方程-1 =。

解:将方程的两边乘以(x-1) (x+2)得到

x(x+2)-(x-1)(x+2)=3。

解是x = 1。

检验:当x = 1时，(x-1) (x+2) = 0，所以x = 1不是原分数方程的解。

所以，原分数方程是无解的。

四.课堂总结

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1..分数方程:分母有未知数的方程。

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2..求解分数方程的一般步骤如下:

v .转让

练习15.3，课本第154页，问题1。

这节课的重点是探索分数方程的解。我先复习一个一维线性方程的解法，然后通过解一个分式方程来启发和引导学生参考一维线性方程的解法。学生将自己探索和总结分数方程的解，这样可以发挥学生的思维，但要提醒他们注意对增根的理解。