九年级数学第二卷第二十八章锐角三角函数单元测试卷(含答案新教育版)

第二十八章检测卷
(150分,90分钟)
题 号    一    二    三    总 分
得 分                
一、选择题(每题4分，共40分)
1.cos 45°的值等于(  )
A.12       B.22      C. 32     D.3
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值是(  )
A.45       B.35       C.34       D.13
3.如图，要测量河两岸A，C两点间的距离，已知AC⊥AB，测得AB＝a，∠ABC＝α，那么AC等于(  )
A.a·sin α    B.a·cos α    C.a·tan α     D.asin α
                                
(第3题)                    (第5题)                     (第6题)    
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是(  )
A.a＝c·sin B    B.a＝c·cos B    C.b＝c·sin A    D.b＝atan B
5.如图，在平面直角坐标系中 ，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值是(  )
A.45     B.54      C.35       D.53
6.如图，在△ABC中， cos B＝22，sin C＝35，BC＝7，则△ABC的面积是(  )
A.212      B.12      C.14      D.21
7.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝35，BE＝2，则tan ∠DBE的值是(  )
A.12       B．2      C.52      D.55
8.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝(  )
A.1    B.233     C.3       D.433
                  
(第7题)              (第8题)                  (第10题)          
9.阅读材料：因为cos 0°＝1，cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12，cos 90°＝0，所以当0°＜α＜90°时，cos α随α的增大而减小．解决问题：已知∠A为锐角，且cos A＜12，那么∠A的取值范围是(  )
A.0°＜∠A＜30°    B．30°＜∠A＜60°  
C．60°＜∠A＜90°  D．30°＜∠A＜90°
10.如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶3，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为(  )
A.6 m      B.7 m      C．8 m      D．9 m
二、填空题(每题5分，共20分)
11.若∠A是锐角， 且sin A是方程2×2－x＝0的一个根，则sin A＝________．
12.如图，在等腰三角形ABC中，tan A＝33，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的长是________．
            
(第12题)               (第13题)
13.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________．
14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32，cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12.观察上述等式，当∠A与∠B互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B的余弦函数值之间的关系：______________．
三、解答题(19～21题每题12 分，22题14分，其余每题10分，共90分)
15.计算：
(1)2sin 30°＋2cos 45°－3tan 60°； (2)tan2 30°＋cos2 30°－sin2 45°×tan 45°.

16.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠B＝60°，解这个直角三角形．

17.如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝2.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
 
(第17题)

18.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD.
(2)若sin C＝1213，BC＝12，求△ABC的面积．
 
(第18题)

19.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tan A＝2.求CD的长．
 
(第19题)
20.如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点，已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据2≈1.4，3≈1.7)
 
(第20题)

21.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)
(1)求车架档AD的长；
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．
 
(第21题)  

22.某水库大坝的横截面是如图的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N. 观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为 E，且PE长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)
 
(第22题)

参考答案
一、1.B
2.B 解析： 由余弦的定义可得cos A＝ACAB.因为AB＝10，AC＝6，所以cos A＝610＝35，故选B.
3.C 解析：因为tan α＝ACAB，所以AC＝AB·tan α＝a·tan α.
4.B 解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据余弦的定义可得，cos B＝ac，即a＝
c·cos B.
5.A 解析：由题意可知m＝4.根据勾股定理可得OP＝5，所以sin α＝45.
6.A 解析：过点A作AD⊥BC于点D.设AD＝3x.∵cos B＝22，∴∠B＝45°，则BD＝AD＝3x.又sin C＝ADAC＝35，∴AC＝5x，则CD＝4x.∵BC＝BD＋CD＝3x＋4x＝7，∴x＝1，AD＝3，故S△ABC＝12AD·BC＝212.
7.B
8.C 解析：设BD＝x，则CD＝2－x.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴DE＝BDsin 60°＝32x，DF＝CDsin 60°＝23－3×2.∴DE＋DF＝32x＋23－3×2＝3.
9.C 解析：由0＜cos A＜12，得cos 90°＜cos A＜cos 60°，故60°＜∠A＜90°.
10.D 解析：过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝3 m．设DE＝x m，在Rt△CDE中，CE＝DEtan 60°＝33x （m）．在Rt△ABC中，∵ABBC＝13，AB＝3 m，∴BC＝3 3 m．在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－3（m） ，∴AF＝DFtan 30°＝3(x－3) （m）．∵AF＝BE＝BC＋ CE，∴3(x－3)＝33＋33x，解得x＝9，∴这棵树DE的高度为9 m.
二、11.12 解析：解方程2×2－x＝0，得x＝0或x＝12.因为∠A是锐角，所以0＜sin A＜1，所以sin A＝12.
12. 43 解析：∵tan A＝33，∴∠A＝30°.又AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝60°，∴CD＝BC·sin∠DBC＝8×32＝43.
13. 43 解析：如图，过N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，M，N关于AC对称，DM＝1，∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan∠ADN＝GNGD＝43.
 
(第13题)
14.sin A＝cos B
三、15.解：(1)原式＝2×12＋2×22－3×3
  ＝  1＋1－3
  ＝  －1.
(2)原式＝332＋322－222×1
  ＝  13＋34－12
  ＝  712.
16.解：因为∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
因为sin A＝BCAB，所以12＝6AB，得AB＝12.
因为tan B＝ACBC，所以3＝AC6，得AC＝63.
17．解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵cos C＝22，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，
∴AE ＝CE＝1.
在Rt△ABE中，∵tan B＝13，∴AEBE＝13.
∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.
 
(第17题)
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝12BC＝2.
∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∴DE＝AE.
又∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°.∴sin∠ADC＝22.
18.(1)证明：∵AD⊥BC，∴tan B＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC.
又tan B＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD.
(2)解：由sin C＝ADAC＝1213，可设AD＝12x，则AC＝13x，由勾股定理得CD＝5x.由(1)知AC＝BD，∴BD＝13x，∴BC＝5x＋13x＝12，解得x＝ 23，∴AD＝8，∴△ABC的面积为12×12×8＝48.
19．解：如图，延长AB，DC交于点E.∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tan A＝tan∠ECD＝2.∵AD＝7，∴DE＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝2x，∴AE＝3x，CE＝5x.在Rt△ADE中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得x＝735，
∴CE＝5×735＝353，则CD＝14－353＝73.
 
(第19题)
20．解：在Rt△ADB中，tan 60°＝123DB，∴DB＝1233＝413（米）．
又∵FB＝OE＝10米，∴CF＝DB－FB＋CD＝413－10＋40＝413＋30(米)．
∵α＝45°，∴EF＝CF≈100米．
答：点E离地面的高度EF约为100米．
21.解：(1)在Rt△ACD中，AC＝45 cm，DC＝60 cm，
∴AD＝452＋602＝75(cm)，
∴车架档AD的长是75 cm.
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.
∵AE＝AC＋CE＝45＋20＝65(cm)，
∴EF＝AEsin 75°＝65 sin 75 °≈62.79≈63(cm)，
∴车座点E到车架档AB的距离约为63 cm.
22.解：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．
在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，
在Rt△PEM中，tan  31°＝PEME，∴ME≈300.60＝50(米)．
∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．
答：两渔船M，N之间的距离约为20米．
(2)如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．
 
(第22题)
∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，
∴AG＝24×0.25＝6(米)．
∵背水 坡DH的坡度i＝1∶1.75，
∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．
∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．
∴S△ADH＝12AH·DG＝12×36×24＝432(平方米)．
∴需要填筑的土石方为432×100＝43 200(立方米)．
设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米 .
根据题意，得10＋43 200－10x2x＝43 200x－20.
解方程，得x＝864.
经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．