北京市东城区二年级下学期数学期末统考试题(带答案的文字版)

东城区2019—2020学年度第二学期期末统一检测
高二数学
2020．7
本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)  展开式中各项系数之和为
        
（2）已知函数y＝f（x）在 处的导数为1，则  
（3）若变量x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点
 
（A) (2，6)
(B) (3，8)
(C) (4，9)
（D） （5，10）
（4）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为
 
（5）已知随机变量X服从二项分布，即X～B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝1．6，则二项分布的参数n，p的值为
 
（6）设两个正态分布 和 的密度曲线如图所示，则有
 
 
（7）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则
 
（8）若从1，2，3，…， 9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有
（A）36种
（B）40种
（C）44种
（D） 48种
(9)设函数f(x)在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
 
(A)f(x)有极大值f(－2)
（B） f（x）有极小值f（－2）
(C)f(x)有极大值f(1)
(D)f(x)有极小值f(1)
（10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为1，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为
 
第二部分（非选择题共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）在 的展开式中， 的系数为________（用数字作答）
（12）给出下列三个结论：
①若 ，则
②若 ，则 ；
③若 ，则 ．
其中正确结论的序号是________
（13）盒子中有4个白球和3个红球，现从盒子中依次不放回地抽取2个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是________
（14）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有________种． （用数字作答）
（15）已知函数 ，若f（m）＝g（n）成立，则n－m的最小值为________
三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16） （本小题8分）
已知函数
(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间．
(17) （本小题8分）
为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了100人，统计是否爱好冰上运动，得到如下的列表：
 
参考附表：
 
参考公式： ，其中n＝a＋b＋c＋d
(I) 补全2×2 联表；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关\”？请说明理由．
(18)(本小题8分)
2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：
 
辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．
（Ⅰ）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率；
（Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记X为其中辨识度高的垃圾种数，求X的分布列和数学期望．
（19） （本小题8分）
已知函数 ．
(Ⅰ)求f(x)的极值；
（Ⅱ）若函数 在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．
(20)(本小题8分)
设集合 ，若X是 的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若 X的容量为奇（偶）数，则称X为 的奇（偶）子集．
（Ⅰ）当n＝3时，写出 的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：当n≥3时， 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（Ⅲ）当n≥3时，求 的所有奇子集的容量之和．
 
东城区2019－2020学年度第二学期期末教学统一检测
高二数学参考答案及评分标准    2020．7
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A        （2）B         （3）B          （4）D       （5）D
（6）C        （7）C         （8）B          （9）A       （10）C
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11）                    （12）①③                    （13）     
（14）                     （15）
注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。
三、解答题（共5小题，共40分）
（16）（共8分）
解：由题意可知函数 的定义域为 ．              
（Ⅰ）因为 ，
所以 ，                          ………1分
 ．                                    ………2分
因为 ，                                  ………3分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．………4分
（Ⅱ）  的定义域为 ．                             ………5分
因为 ，
由 ，得 ， ．                        ………6分
因为函数 的定义域为 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
 
 
 
 

 
单调递减
极小值    单调递增

                                                              ………7分
所以， 的单调递增区间为 ，
 的单调递减区间为 ．             ………8分
（17）（共8分）
解：（Ⅰ）
    爱好    不爱好    共计
男生    
 
 

女生    
 
 

共计    
 
 

共需要填6个空，对2个空                 ……1分
对4个空                ………2分
全对                    ………4分
（Ⅱ）由题可知，
 ，经过计算， ，………7分
参照附表，所以在犯错误的概率不超过 的前提下，
可以认为“爱好冰上运动与性别有关”．                ………8分
（18）（共8分）
解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共 种，
辨识度高的垃圾种数是： ．………1分
所求概率为 ．            ………3分
（Ⅱ） 的可能取值为 ．            ………4分
依题意可知， ．
 ，
 ，
 ，
 ．                        ………6分
所以 的分布列为
 
 
 
 
 

………7分
 ．                       ………………8分

（19）（共8分）
解：由题意可知函数 的定义域为 ．
（Ⅰ）因为 ，
所以 ． ………1分
由 ，得 ， ．               ………2分
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
                             
                         
     单调递增          单调递减         单调递增
       ………3分
因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 ；
当 时， 有极小值，并且极小值为 ．  
………4分（全对给1分）
（Ⅱ）因为 ，
所以 ．
所以 为一个零点．
所以“函数 在定义域内有三个零点”可以转化为
“方程 有两个非零实根”．                    ………5分
令 ，则 ，
所以，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
当 时， 有最小值 ．           ………6分
若方程 有两个非零实根，则  ，即 ．
又 ， ， 恒成立，不存在零点，………7分
所以 ．
综上， ．
所以当 时，函数 在定义域内有三个零点．
………8分
（20）（共8分）
（Ⅰ）解：当 时， ．
 的所有奇子集为 ．   ………3分（少写或写错扣1分）
（Ⅱ）证明：首先证明 的奇子集与偶子集个数相等．
设奇数 ，对于 的每个奇子集 ，
当 时，取 且 ．
当 时，取 ，则 为 的偶子集．
反之，亦然．
所以， 的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以， 的奇子集与偶子集个数相等．
对于 ， ，含 的 的子集共有 个，        …4分
其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数 ，在奇子集的和与偶子集的和中， 所占的个数是一样的．
所以 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等． …6分
（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现 次，故奇子集的容量和为
 ．            ………8分