北京市延庆区2019-2020年下学期高中数学期末考试试题(带答案的文字版)

延庆区2019—2020学年第二学期期末试卷
                   高 二 数 学              2020.7
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集 ，集合 ， ，则集合
（A）       （B）      （C）       （D）
2．焦点在 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 的抛物线的标准方程是
（A）        （B）     （C）     （D）
3. 已知向量 ， .若 ，则 的值为
（A）             （B）         （C）        （D）
4．设 ，则
（A）        （B）     （C）   （D）

5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为
（A）          （B）     （C）   （D）  
6. 圆 截 轴所得弦的长度等于
（A）            （B）         （C）       （D）  
7．已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ，下列四个命题中错误的为
（A）若 ， ，则           （B）若 ， ，则
（C）若 , ∥ 且 ∥ ,则 ∥ （D）若 ， ，则
8. 已知函数 ，则“ 在 上单调递减”是“ ”的
（A）充分而不必要条件                 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件                     （D）既不充分也不必要条件
9．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象的函数解析式为
（A）  （B）  （C）  （D）  
10．已知函数 的定义域为 ，且满足下列三个条件：
    ①对任意的 ，且 ，都有 ；
    ② ；③ 是偶函数；
    若 ， ， ，则 ， ，  的大小关系正确的是
（A）      （B）        （C）       （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知复数 ，则           ．
12．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为       .
13．数列 中， ， ， . 若其前 项和为 ，则 ___    ____.
14．在△ 中，  ， ，，则 边上的高等于               .
15．已知函数 ：① 函数 的单调递减区间为 ；
② 若函数 有且只有一个零点，则 ；
③ 若 ，则 ，使得函数 恰有2个零点 ， ， 恰有一个零点 ，且 ， .
其中，所有正确结论的序号是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
已知 是公差为 的无穷等差数列，其前 项和为 . 又 ，且 ，是否存在大于 的正整数 ,使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
17.（本小题满分14分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．

18. （本小题满分14分）
在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：

（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达
人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；
（Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
  方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，
2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元．
  方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面
都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次． 每翻到一次笑脸可得30元奖励金．如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．
以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．

19.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为线段 上一点（ 不是端点），________ .
从① ；② 平面 ；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（Ⅰ）求证：四边形 是直角梯形；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点 ，使得直线 平面 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分15分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）当 时，若曲线 在曲线 的下方，求实数 的取值范围.

21. （本小题满分14分）
已知椭圆 的短轴长为2，离心率为 ， 、 分别是椭圆长轴的左右两个端点，P是椭圆上异于点 、 的点．
（Ⅰ）求出椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设点 满足： ， ．求 与 面积的比值．

    高二数学答案及评分标准       2020.7
一、选择题：（ ） 1.A  2.D  3 . C  4.B  5. A  6. A  7. D   8.B  9.D  10. C
二、填空题：（ ）11.   12.  ；13.  ；14.  ；15.  ①③.
注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共5小题，共85分.
16.（本小题满分14分）
解：存在正整数 ,使得 .     (此处未写，结论处有，不扣分) …………2分
理由如下：
在等差数列 中，                       …………5分
又 ， .
所以由   得                                   …………7分
所以 .            …………10分
令 ，即 .
整理得 .解得 或 .                        …………12分
因为 ，所以 .              （未写k>1扣一分）          …………14分
所以当 时， .
                               
17. (本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 =                    
 ．                                      …3分  
所以函数 的最小正周期 ．                                       …4分
因为函数 的的单调递减区间为 ，           
所以 ,                               …6分
解得 ,                                    …7分
所以函数 的单调递减区间是 .              …8分
(一个 都没写的扣一分)
（Ⅱ）由题意可知，不等式 有解，即 ．                …10分
由（Ⅰ）可知 .当 时, ,      …11分
故当 ,即 时, f(x)取得最大值,最大值为 .            …13分
所以 .故实数 的取值范围是 .                               …14分                     18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A.    …1分
由图可知，去年消费金额在 内的有8人，在 内的有4人，
消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12（人），                      
从这12人中抽取3人，共有 种不同方法，                                 …2分
其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有 种不同方法．  
所以，  ．                                       …4分
（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，
2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为
 ， ， ，                          …5分
按照方案1奖励的总金额为 （元）．        …6分           
方案2 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为0，30，60，90．…7分                                 
由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为 ，                          …8分
所以 ，
 ， ．
 
0    30    60    90
 
 
 
 
 

所以 的分布列为：
                                                 …10分
数学期望为 （元），                   …12分
按照方案2奖励的总金额为  （元），          …13分       
因为由 ，所以施行方案1投资较少．                            …14分
19. (本小题满分14分）
解：（Ⅰ）选择①，连结 ，
因为 平面 ， 所以 ，                   ……………..1分
因为 ， ，所以                    .….2分
因为 ， ，所以 ，所以 .       …3分
因为 ，所以 ， 所以四边形 是直角梯形.   …….4分
选择②，连结 ，
因为 平面 ， 所以 ，                   ……………..1分
因为 ， ，所以                    .….2分
因为 ， ，所以 ，所以 .       …3分
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ， 所以四边形 是直角梯形.                    …….4分
（Ⅱ）在平面 内过 作 ,则 平面 ，由（Ⅰ）知 ，所以以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ,….5分
则 ， ， ， ， .
则 , ，                       …….6分
设平面 的一个法向量 ，则 即 …7分
令 ，则 ， ，，则 ．                       …8分
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 .              …9分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .         
（Ⅲ）设 ，则  ．…10分
所以  ，                         …11分
若 平面 ，则 ，                                    …12分
即 ，所以 ．                       …13分
因为 ，所以，线段 上不存在点 使得直线 平面 ．    …14分

20. (本小题满分15分）
（Ⅰ）因为 ，定义域R，所以 .                          ……2分
令 ，解得 ，令 ，解得                            ……3分
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为                ……4分
（Ⅱ）令 ，                   ……5分
      .                        ……6分
由 得 ，  ，于是 ，故函数 在 上是增函数.     ……7分
所以当 时， ，即 .                    …… 9分
（Ⅲ）若曲线 在曲线 的下方，则          …10分
令 ，则 . 11分
当 时，解法一：因为 ，所以
 由（Ⅱ）知 .……13分                           
解法二：因为 ，所以 ， ， ，且 ，则 ， ，所以 ， 在 上是增函数. 所以 ，符合题意.            ……13分   
当 时，若 ，则 ，那么 ，所以 ，
则 在 上是减函数. 所以 时， ，不合题意.        ……15分
综上所述，实数 的取值范围是 .  

21. (本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意，得 ， .    …… 2分； 又因为 ，   …… 3分
         所以 ， .  …… 4分；故椭圆 的方程为 .   ……… 5分
（Ⅱ）因为两个三角形的底边均为 ，所以面积之比等于          …6分
    解法一：由P是椭圆上异于点 、 的点可知, 直线 的斜率存在且不为0
设直线 的斜率分别为 ，则直线 的方程为  …7分
 由 直线 的方程为 ．                   …8分
 将 代入 ，得 ，
 因为 是椭圆上异于点 的点，所以  ．           ……9分   
 所以      …11分  
 由 ，所以直线 的方程为 ．              ……12分
 由  ，得 ．                          ……13分
 所以 ．                           ……14分
解法二：设 ，则 ， ①，            …7分

且 ， 因为 ，                  …8分
所以 ，则直线 ②，           …9分
同理直线 ③，                             …10分
③与②联立，解得： ，                                …12分
将①带入，得 ，                                       …13分
所以 ．                              ……14分