河南省林州市第一中学，2019-2020，高中数学(课文)六月试题(单词版附答案)
林州一中2018级高二下学期6月月考
文科数学
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. -1 D. 3
3. 某拖拉机厂生产了400台新型农用拖拉机，出厂前测试时，这批拖拉机通过某一路段的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在 内的拖拉机台数大约为（ ）
A. 28 B. 70 C. 160 D. 280
4. 给定下列两种说法：①已知 ，命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，②“ ，使 ”的否定是“ ，使 ”，则（ ）
A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都错误 D. ①和②都正确
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D.
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知直线 ： 与圆 相交于 ， 两点， （ 为坐标原点），且直线 与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则（ ）
①若 ， ，且 ，则 ；
②若 ， ，且 ，则 ；
③若 ， ，且 ，则 ；
④若 ， ，且 ，则 .
其中真命题的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 函数 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ， 为该双曲线上一点， ， 为其左、右焦点，且 ， ，则该双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数 是定义在 上的偶函数，也是周期为4的周期函数，且在区间 上单调递减，则 与 的大小为（ ）
A. B.
C. D. 不确定
12. 已知函数 在区间 上为单调函数，且 ，则函数 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 ， ，若 与 共线，则实数 ______.
14. 已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为______.
15. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 ______.
16. 已知函数 ，当 时， （ 为函数 的导函数），则实数 的取值范围为______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17 ~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求 的最小值.
18. “过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有 ， ， 三种品牌的店，其中 品牌店50家， 品牌店30家， 品牌店20家.
（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则 ， 品牌的店各应抽取多少家？
（Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4个白球，另一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，6的6个红球（所有球的形状、大小相同）.顾客从这两个盒子中各抽取1个球，若两个被抽取的球的标号之和大于或等于8，则打八折（按原价的 付费）.求顾客参加优惠活动后获得八折用餐的概率.
19. 如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，点 ， 分别为 ， 边上的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ， ，求三棱锥 的体积.
20. 已知椭圆 ： 的右顶点为 ，定点 ，直线 与椭圆交于另一点 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程.
（Ⅱ）试问是否存在过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，使得 成立？若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的极值情况；
（Ⅱ）证明：当 时， 在 上恒成立.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线 上恰好存在两个点到直线 的距离为 ，求实数 的取值范围.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数 .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）对任意的 ， 都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
林州一中2018级高二下学期6月月考
文科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1-5：CBDDA 6-10：BABBD 11-12：AC
1.【答案】C
【命题意图】本题考查复数的运算，考在运算求解能力.
【解析】 .
2.【答案】B
【命题意图】本题考查集合的表示、集合运算，考查理解能力、运算求解能力.
【解析】由题意知 ，所以 .
3.【答案】D
【命题意图】本题考查频率分布直方图，考查识表能力和数据分析能力.
【解析】时速在 内的拖拉机的频率为 ，大约有 （台）.
4.【答案】D
【命题意图】本题考查逻辑联结词和真假命题的判断，考查推理论证能力.
【解析】①中，同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故①正确；②中，特称命题的否定是全称命题，所以②正确，综上知，①和②都正确.
5.【答案】A
【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换，考在转化能力、运算求解能力.
【解析】由 ，得 .又因 ，所以等式两边同除以 ，得 .
所以 .
6.【答案】B
【命题意图】本题考查空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算，考查空间想象能力.
【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥与正方体的组合体，
该几何体的体积为 .
7.【答案】A
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及直线间的位置关系，考查推理论证能力和转化能力.
【解析】由于直线 的斜率 ，直线 ： 的斜率为 ，而两直线垂直，所以 ，得 .设圆心到直线 的距离为 ，则 ，于是 ，解得 .故所求的直线方程为 ，即 .
8.【答案】B
【命题意图】本题考查空间几何体的线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力.
【解析】由 且 ，可得 ，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于 ， ，所以 ，则 ，故②正确；若 与平面 ， 的交线平行，则 ，故不一定有 ，故③错误；可以由线线垂直的定义推得④，故④正确.因此，真命题的个数是3.
9.【答案】B
【命题意图】本题考查函数的图象和性质，考查运算求解能力和转化化归能力.
【解析】要想得到 的图象，只需将 的图象向左平移1个单位即可.其中 的图象可利用其为偶函数通过 作出.
10.【答案】D
【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查推理论证能力和方程思想.
【解析】设 ，则由渐近线方程为 可得 ，所以 ，整理可得 .又因为 ，所以 ，两式相减，得 ，而 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，故双曲线的方程为 .
11.【答案】A
【命题意图】本题考查函数的性质，考查推理论证能力和转化能力.
【解析】由题意知 ， .因为 在区间 上单调递减，所以 ，即 .
12.【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力和转化化归能力.
【解析】由函数 在区间 上具有单调性，且 知， 有对称中心 ，所以 .由 知， 有对称轴 .设 的最小正周期为 ，则 ，即 ，故 .解得 ，于是 ，解得 .所以 .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 1 15. 16.
13.【答案】
【命题意图】本题考查平面向量的共线问题，考查推理论证能力和方程思想.
【解析】由题意得 .因为向量 与 共线，所以 ，所以 .
14.【答案】1
【命题意图】本题考查二元一次不等式组所表示的区域、线性目标函数，考查数形结合思想和转化能力.
【解析】约束条件 表示的可行域如图中阴影部分所示.由 得 ，则目标函数 过点 时， 取得最大值， .
15.【答案】
【命题意图】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查推理论证能力和方程思想.
【解析】由正弦定理及 ，可得 ，因为 ，所以 ，化简可得 .因为 ，所以 .因为 ，所以 .
16..【答案】
【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查推理论证能力.
【解析】由题意得 .由于 时， ，故 .设 ，则 .由于 ，所以 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.于是 .所以 .解得 ，故实数 的取值范围是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 项和公式，考查运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）由 ， ，得 .
所以 .
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，所以 .
数列 是以-29为首项，2为公差的等差数列.
所以 ，
所以当 时，数列 的前 项和 取得最小值，最小值为-225.
18.【命题意图】本题考查分层抽样和古典概型，考查实际问题的解决能力、数据分析能力.
【解析】（Ⅰ）由题意得，应抽查 品牌店 家，
应抽查 品牌店 家.
（Ⅱ）因为顾客在一个盒子中抽取的白球标号分别为1，2，3，4；在另一个盒子中抽取的红球标号分别为1，2，3，4，5，6，所以顾客从两个盒子中各抽取1个球的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .共24个基本事件.
其中，两个被抽取的球的标号之和大于或等于8的基本事件有 ， ， ， ， ， ，共6个基本事件.
设“两个被抽取的球的标号之和大于或等于8”的事件为 ，则顾客参加优惠活动后获得八折用餐的概率为 .
19.【命题意图】本题考查空间几何体的线面关系以及等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力和推理论证能力.
【解析】（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， .
因为 ， 分别是 和 的中点，所以 ，且 .
因为 为 的中点，所以 .
又因为底面 是正方形，所以 .
所以 ，所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（Ⅱ）如图，取 的中点 ，连接 .因为 ， 为 的中点，所以 .
又因平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 .
因为 ，所以 .又 ，
故三棱锥 的体积 .
20.【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质、直线与椭圆的综合型问题.考查化归与转化能力、运算求解能力、方程思想.
【解析】（Ⅰ）由椭圆 ： 的右顶点为 知， .
把 点坐标 代入椭圆方程，得 .解得 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（Ⅱ）直线 的方程为 ，即 .
易知， ， ，所以 .
所以由 ，得 ，即 ，所以 .
设 ， ，则 ， ，所以 .
①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， ，这与 矛盾.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
联立方程 得 .
所以 ， .
所以由 可得 ， ，即 .
整理得 .解得 .
综上所述，存在满足条件的直线 ，其方程为 或 .
21.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查化归与转化、函数、方程与不等式等数学思想.
【解析】（Ⅰ）依题意得， ， .
若 ，则 ，于是函数 在 上单调递增，
此时，函数 在 上无极值.
若 ，当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
此时，函数 在 上只有极小值 ，无极大值.
综上所述，当 时，函数 无极值，当 时，函数 只有极小值 ，无极大值.
（Ⅱ）由 ，得 在 上恒成立.
设 ，则 .
设 ，则 是 上的增函数，即 .
当 时， ，所以 ，因此 是 上的增函数，
于是当 时， ，即 在 上恒成立.
所以，当 时， 在 上恒成立.
22.【命题意图】本题考查极坐标方程与参数方程，考查化归与转化思想、方程（组）思想.
【解析】（Ⅰ）由曲线 的参数方程 （ 为参数， ）消去参数 ，
可得曲线 的普通方程为 .
由 ， 及直线 的极坐标方程 ，得直线 的直角坐标方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 表示以原点为圆心，以 为半径的圆，且原点到直线 的距离为 .
所以要使曲线 上恰好存在两个点到直线 的距离为 ，
则须 ，即 .
所以实数 的取值范围是 .
23.【命题意图】本题考查含有绝对值的三角不等式、不等式的证明，考查化归与转化思想，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.
【解析】（Ⅰ） ，不等式 等价于 或 或 .
解得 .
故不等式 的解集为 .
（Ⅱ）由于 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以要使不等式 恒成立，
则须 ，所以 .
故实数 的取值范围为 .