北京市通州区2019-2020年下学期高中数学期末考试试题(带答案的文字版)

通州区2019—2020学年第二学期高一年级期末考试
数学试卷
2020年7月
第一部分（选择题共40分）
—、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数2＋i的共轭复数是
 
2．在下列各组向量中，互相垂直的是
 
3．在△ABC中， ，则cosA＝
 
4．甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是
 
5．将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是
A．4
B． 40
C． 250
D．400
6．若样本数据 标准差为8，则数据 的标准差为
A．8
B． 16
C． 32
D． 64
7．用6根火柴最多可以组成
A．2个等边三角形
B．3等边三角形
C．4个等边三角形
D．5个等边三角形
8．已知直线a平面α，直线b平面α，则“直线m⊥α”是“m⊥a，且m⊥b”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9，关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是
А．0  B．1  C．2  D．3
10．如图，在正方体 中，点E，F分别是棱 上的动点．给出下面四个命题
①若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交；
②若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上；
③若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角
的正切值最大为 ；
④直线AF与直线CE所成角的最大值是 ．

其中，所有正确命题的序号是
A．①④
B．②④
C．①②④
D．②③④
 
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．若空间中两直线a与b没有公共点，则a与b的位置关系是________
12．棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是________
13．已知23名男生的平均身高是170．6 cm， 27名女生的平均身高是160．6cm，则这50名学生的平均身高为________
14．样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4， 1， 6， 6，8，2， 7，该组数据的第50百分位数是________ ，第75百分位数是________
15．为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为________
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16． （本小题14分）
已知 ．
(Ⅰ)若a与b同向，求b；
（Ⅱ）若a与b的夹角为 ，求a＋b．
17．（本小题14分）
在锐角△ABC中，角A， B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝13，c＝15．
（I） 能否成立？请说明理由；
(Ⅱ)若 ，求b．
18． （本小题15分）
某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]， (20，40]， (40，60]， (60，80]， (80， 100]分组，绘成频率分布直方图(如图)．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数
（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．
 

19． （本小题14分）
某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）
 
（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？
（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；
（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？
20．（本小题14分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD， ．
(Ⅰ)求证：CD∥平面ABFE；
(Ⅱ)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由。
 
21． （本小题14分）
在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1．
(Ⅰ)若点E，F分别是AB， BC的中点(如图)，
①求证：  ；
②求三棱锥 的体积；
（Ⅱ）设 ，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点A1？