2020年全国普通高等学校招生统一考试(山市附中模拟卷)(目标卷)数学试题(带答案的文字版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)
数 学 学 科
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x｜x2－2x＜0}，N={－2，－1，0，1，2}，则M∩N=
A．             B．{1}            C．{0，1}            D．{－1，0，1}
2．已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数 在复平面内对应点所在的象限是
A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限            D．第四象限
3．已知向量a=(m，－2)，b=(2，1)，则“m＜1”是“a，b夹角为钝角”的
A．充分不必要条件                B．必要不充分条件
C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件
4．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是
A．90            B．120            C．210            D．216
5．已知定义在R上的函数 ，a=f( )，b=－f( )，c=f(1n3)，则
a，b，c的大小关系为
A．c＞b＞a            B．b＞c＞a            C．a＞b＞c            D．c＞a＞b
6．对n个不同的实数a1，a2，…，an可得n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵．对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…，n!．
例如用1，2，3可得数阵如右，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24．那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…b120等于
A．－3600        B．－1800        C．－1080        D．－720
7．已知△ABC中，A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA=OB=OC．设 ，则 的值为
A．2            B．1            C．             D．
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为
A．             B．             C．             D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程。不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划。小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图。根据该折线图，下列结论正确的是

A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
10．已知函数 ，下列结论正确的是
A．函数图像关于 对称
B．函数在 上单调递增
C．若 ，则
D．函数f(x)的最小值为－2
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α．下面说法正确的是
A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为
B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．己知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点

12．函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是
A．当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0
B．当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0
C．对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点
D．存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 的展开式中的常数项为____________________．(用数字作答)
14．一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球．甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是______________．
15．己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则 的最小值是_______________．
16．已知双曲线 ，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为_________，若F1到圆M上点的最大距离为 ，则△F1PF2的面积为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an－1(n∈N+)
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，数列{bn}的前n项和Tn，且Tn≥m对任意n∈N+恒成立，求m范围．
18．(12分)
平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，∠ADC=120°，AD=3，sin∠ECD= ，DE= ，CE=
(1)求AE的长：
(2)己知∠ABC=60°求△ABE面积的最大值．

19．(12分)
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点．将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE，AC，DE，得到三棱锥A－BCD．
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD
(2)若AD=1，二面角C－AB－D的余弦值为 ，求二面角B－AD－E的正弦值．

20．(12分)
从2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延．蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
平均温度x／℃    21    23    25    27    29    32    35
  平均产卵数y／个    7    11    21    24    66    115    325

27.429    81.286    3.612    40.182    147.714
表中zi=lnyi，
(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程．(结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p(0＜p＜1)．
(i)记该地今后n(n≥3，n∈N*)年中，恰好需要2次人工防治的概率为f(p)，求f(p)取得最大值时相应的概率p0．
(ii)根据(i)中的结论，当f(p)取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差。
附：对于一组数据(x1，z1)，(x2，z2)，…(x7，z7)，其回归直线z=a+bx的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ， ．

21．(12分)
已知椭圆E：  (a＞b＞0)经过点(－1， )，且焦距为2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A为椭圆E的左顶点，过点F2的直线l交椭圆E于P，Q两点，记直线AP、AQ的斜率分别为k1，k2，若 ，求直线l的方程．

22．(12分)
已知函数f(x)=alnx，a∈R．
(1)若曲线y=f(x)与曲线g(x)=  在公共点处有共同的切线，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，试问函数 是否有零点．若有，求出该零点；若没有，请说明理由。
 
数学考前模拟测试题答案及详解

1.答案：B
 
2.    答案：D
注意复数的共轭，复数的加减乘除，模，共轭的运算，几何意义，实部，虚部，虚数单位这些概念要熟。

3.答案：B
若 ，则 ，
   

4.    答案：C  
 
5.答案：D
函数定义域为R，在y轴右侧增，又是奇函数，所以在实数集上为增函数。

6.    答案：C
注意题目条件中给的提示，把每一列算出来，然后带入计算公式。共有120行，120除以5等于24，所以每一列都有24个1，24个2，24个3，24个4，24个5，所以每一列的和都是360。

7.    答案：C
用平面向量的坐标形式算，以A为定点，AB所在直线为x轴建系。计算两条边中垂线的交点得O点。

8.    答案：B
利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等的性质找到球心就是一条棱的中点。

9.    答案:ACD

10.    答案：AC
分段讨论去掉绝对值，画出函数图像即可。在同一个坐标系里同时画出2sinx和2cosx的图象，谁的图象在上方就要谁。

11.    答案：AC
 
12.    答案：ABD
令函数等于零，表达式两部分移到等式两边，画两个函数的图象，根据图像的旋转变换和伸缩变换可判断C、D的正误。B选项要把导函数算出来，按照上面处理原函数的方法做，确定了导函数的零点范围后，把其指数形式代换为三角函数计算即可。

13.    答案：240
14.    答案：
分类讨论4次取球中符合条件的取法，共三类，甲绿甲绿甲红乙随便，甲绿甲红乙红甲绿，甲红乙红甲绿甲绿。

15.    答案：4
利用导数讨论切线的方法求出a+b=1，再用逆代变形求。均值不等式求最值别忘了“一正二定三相等”。
16.    答案：
注意用好双曲线的定义和圆的切线长相等的结论，可求出内心的横坐标就是右顶点的横坐标。利用圆外一点到圆上一点的最远距离就是圆外点到圆心的距离加半径，构造直角三角形可求半径和圆外点到圆心的距离，根据这数值能发现有特殊角。最后联立过左焦点的直线和双曲线方程求点P坐标，然后可求面积。

17．【解析】
（1）因为 ①
所以 ②
由①②得 ，即 ，
又当 时， ，所以
所以 是以1为首项，2为公比的等比数列
所以 .
（2）
 
 
 
所以 单调递增
所以
所以
18.【解析】
(1)在 中由正弦定理可得 ,
 因为 ,所以 是锐角，故 ， ,
在直角三角形 中， .
(2)    在 中， ,由余弦定理可得：
 
因为
从而，
19.【解析】
 
   
法二：取BD中点F，因为EF与CD平行，故EF垂直于平面ABD,过点F作FQ与AD垂直，垂足为点Q.EF垂直于平面ABD,AD在平面ABD内，故EF与AD垂直.
所以 即为二面角 的平面角. .
在直角三角形EQF， 即二面角B-AD-E的正弦值为
20．【解析】
（1）由散点图可知， 更适宜作为平均产卵数和平均温度的回归直线方程类型。
（2）（i） ， ，令 ，解得 ；
令 ，解得 ，所以 ，此时
（ii） ，  .
21.    【解析】
（1）由条件  ，又 ，联立解得  
椭圆 的方程：
（2）由条件得 ，
若 的斜率不存在，由对称性知 ，不符合要求.
若 的斜率存在，设为 ，则 方程为：
联立  得  
设  ，则
所以   
 
 
    所以直线 的方程为：
22.    【解析】
（1）函数 的定义域为 ， 。
设曲线 与曲线 的公共点为 ，由于在公共点处有共同的切线，所以 ，解得 。
由 可得 。
联立 解得 。
（2）函数 是否有零点，转化为函数 与函数 在 上是否有交点。 ，可得 ，令 ，解得 ，此时函数 单调递增；令 ，解得 ，此时函数 单调递减。
所以当 时，函数 取得极小值即最小值， 。
 可得 ，令 ，解得 ，此时函数 单调递增；令 ，解得 ，此时函数 单调递减。所以当 时，函数 取得极大值即最大值， 。
所以F（x）没有零点。