北京市昌平区2020年中考数学考试前适应性试题(带答案的文字版)

高三数学高考前适应性测试卷2020.6.26

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10个小题，每个小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.    已知集合 ， ，则
A．             B.          C.           D.     
2. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限      B. 第二象限      C. 第三象限      D. 第四象限   
3. 下列函数中有最小值的是
A．          B.        C.        D.     
4. 直线 与圆 交于 两点，若 ，则点 到直线 的距离为
A．             B.               C.              D.     
5.  已知非零向量 满足 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件       B. 必要而不充分条件
C．充分必要条件           D. 既不充分又不必要条件
6. 某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ），则该三棱锥的体积为
A．          B.           
C.            D.     

7. 若函数 在 内恰有 个零点，则 的值不可能为
A．          B.             C.               D.     
8. 已知平面向量 的夹角为 ，且  ，则 的最小值为
A．          B.             C.               D.  
9. 如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，且满足 ，动点 在正方体表面上运动，且 1，则动点 的轨迹的周长为
 A．          B.            
 C.           D.  

10、如图，在 的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.
例如

若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（   ）次
A．          B.             C.               D.  

第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。
11. 在 的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）
12. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且一个焦点在抛物线 的准线上，则该双曲线的方程为________.
13. 已知等差数列 的首项为 ，等比数列 的公比为 ， 是数列 的前 项和，且 ，则 _____， _____.
14. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.
专家发现: 两岁燕子的飞行速度可以表示为 ，其中 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为______；
若某只两岁的燕子耗氧量为 时的飞行速度为 ，另一只两岁的燕子耗氧量为 时的飞行速度为 ，两只燕子同时起飞，当 时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为_____米.

15. 已知函数 ，直线 与 轴和 轴分别交于点 ，直线 与函数 的图像交于 两点（点 在点 之间），给出下列四个结论：
① 若点 为 轴上一点，则存在符合条件的点 和实数 ，使得 为等边三角形；
② 记 ，则 ；
③ 记 ，则 的值域为 ；
④ 记 ，则对任意的非零实数 ，都有 成立
（ 表示 中最大的数， 表示 中最小的数）.
其中正确结论的序号是_______.

三、解答题共6个小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. (本小题共14分)
如图，三棱柱 中， ，
 是 的中点， ， .
（Ⅰ）证明： ；
(Ⅱ) 求直线 与平面 所成角的正弦值.

17. (本小题共14分)
2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）
日期    12    13    14    15    16    17    18
治愈人数    1171    1081    1373    1323    1425    1701    1824
请根据以上信息，回答下列问题：
（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为 和 ，后三天治愈人数的平均数和方差分别为 和 ，判断 与 ， 与 的大小（直接写出结论）；
(Ⅱ) 从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于 例的概率；
(Ⅲ) 设集合 ，从集合 中任取两个元素，设其中满足 的个数为 ，求 的分布列和数学期望 .

18. (本小题共14分)
已知 中， .
（Ⅰ）求证： 是钝角；
（Ⅱ）若 同时满足下列四个条件中的三个：
①  ； ②  ； ③    ④  .
请指出这三个条件，说明理由，并求出 的值.

19. (本小题共14分)
已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）过点 的直线 交椭圆 于不同的两点 ，点 是直线 上任意一点，求证：直线 的斜率成等差数列.

20. (本小题共15分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，
    （i）求曲线 在点 处的切线方程；
(ii) 求函数 的最小值；
（Ⅱ）若曲线 与 轴有且仅有一个公共点，求实数 的取值范围.

21. (本小题共14分)
对给定的正整数 ，令 .
对任意的 ， ，定义 与 的距离
 .
设 是 的含有至少两个元素的子集，集合 中的最小值称为 的特征，记作 .
（Ⅰ）当 时，直接写出下述集合的特征：
 ,
 
 
（Ⅱ）当 时，设 且 ，求 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）当 时，设 且 ，求证： 中的元素个数小于 .
昌平区2020届高考前适应性测试卷答案
数 学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
题号    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
答案    C    A    B    C    A    A    D    D    A    B
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.                 12.              13.  ；     
14.  ；          15. ①②④
注：第13、14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得 分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：连接 交 于点 ，连接 ，则点 是 的中点，
 点 是 的中点，     //
    平面  ，   平面
   //平面   ————————5分
（Ⅱ）解：  ，
 
 三棱柱 中， 底面
  底面
  ，
 以 为坐标原点，分别以 为 轴，如图建立空间直角坐标系
       ， ， ， ， ，
 ， ，  
设平面 的法向量为 ，
因为                 
令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为
         
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .  ————————14分
                                                                                    
17.（本小题共14分）
解：（Ⅰ） ；    ————————4分
（Ⅱ）设事件 “从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例”.从这七天中任选取连续的两天，共有6种选法，其中13日和14日，16日和17日符合要求
所以   ————————8分
（Ⅲ）由题意可知   
               
所以 的分布列为：
 
0    1    2
 
 
 
 

   

   ————————14分

18.（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
（解法1）由 及余弦定理 可知
 
 
 
即
因为
所以
即 为钝角————————5分
（解法2）由 及正弦定理 可知
 
 
 
 
因为    所以
所以  
因为
所以
即 为钝角————————5分
（Ⅱ）解：因为 为钝角，所以
若①成立，因为 ，
所以  
若④成立，因为 ，
可得
若①④同时成立，则
与题矛盾，故①④不能同时成立
则②③必同时成立
因为
所以
若④成立，则
与题矛盾，故选①②③            
 
 
解得 （ 舍）————————14分
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意得     
         解得 ， ，     
         从而 ，
         所以椭圆 的方程为 ．  ————————5分
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，设 ，当 ， 时， ，又 ，
所以直线 的斜率成等差数列．

         当直线 的斜率存在时，设 ．      
         联立   得 ．
          成立，
         设 ， ，则 ， ．
设点 ，
        则
 
所以直线 的斜率成等差数列．
综上, 直线 的斜率成等差数列．  ————————14分

20.（本小题共15分）
解：（Ⅰ）当 时， ， ，
（ⅰ） ，
所求切线方程为：   ————————4分
（ⅱ） ，
令 ，
所以
所以当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，
又因为 ，
 随 的变化如下表：
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
极小值    

所以函数 的最小值为 .  ————————10分
（Ⅱ）依题，函数 只有一个零点，
 ，
① 时，
 ， ，所以 在 上单调递增，且 ，
   所以函数 只有一个零点；
②当 时，令 ，
       ，
所以 在区间 上单调递增，
 若 时，由（Ⅰ）知函数 只有一个零点，
 若 时， ， ，
所以 在区间 上存在一个零点 ，且 ，
 随 的变化如下表：
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
极小值    

所以 ，
   因为 ，
取 ， ，
（用极限说明也给分）
              ，
所以函数 在区间 和 上各有一个零点，
综上可知： 的取值范围是 .  ————————15分

21.（本小题共14分）
解：（Ⅰ） ， ，   ————————3分
（Ⅱ）当 时，设 且 ，则 中元素个数的最大值为 .
理由如下：
（a） 一方面：对任意的 ，令
 
    则 ，故 .
    令集合 ，则 ， 且 与 的元素个数相同，但 中共有 个元素，其中至多一半属于 ，故 中至多有 个元素.
（b）另一方面，设
 
则 中的元素个数为 . 对任意的
 ，
        易得 与     奇偶性相同，故 为偶数，由 ，得 ，故 .
        注意到 且它们的距离为 ，故此时 满足题意.
    综上， 中元素个数的最大值为 .  ————————8分
    （Ⅲ）当 时，设 且 ，设 .
任意的 ，定义 的领域
 
         （a）对任意的 ， 中恰有 个元素.事实上
              （1）若 ，则 ，恰有一种可能；
              （2）若 ，则 与 恰有一个分量不同，共2020种可能；
             综上， 中恰有 个元素.
（b）对任意的 ， . 事实上，若
 
不妨设 ，不妨设 ， ， ，则
 
    这与 ，矛盾.
由（a）和（b）， 中共有 个元素，但 中共有 个元素，所以 ， .
注意到 是正整数，但 不是正整数，上述等号无法取到. 所以，集合 中的元素个数 小于 .  ————————14分