甘肃省兰州市第一中学2020年高中数学(课文)冲刺模拟测试(三)试题(带答案的文字版)

甘肃省兰州第一中学2020年高考冲刺模拟试题（三）
文科数学

第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，集合 ，则 (    )
A．     B．     C．     D．
2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则复数 对应的点在第(    )象限
A．一    B．二    C．三    D．四
3．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为(    )
A．             B．             C．             D．
4．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象(    )
A．向左平移 个单位    B．向右平移 个单位
C．向右平移 个单位    D．向左平移 个单位
5．已知 ， ， ，则(    )
A．     B．     C．     D．
6．函数 （ 且 ）的大致图象是(    )
A． B． C．  D．
7．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 的精确度上，首次将“ ”精确到小数点后第七位，即 ，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字 ， ，则事件“ ”的概率为(    )
A．     B．     C．     D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该几何体的体积为(    )
A．      B．      C．      D．
9．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，最初是由意大利数学家斐    
波那契于1202年通过兔子繁殖问题提出来的．在斐波那契数列
中， ， ， ．某同学设计了一个如
图所示的求斐波那契数列前 项和 的程序框图，若 ，那么 内填入(    )
A．       B．       C．       D．
10．已知函数 ， ，则方程
 所有根的和等于(    )
A．1    B．2          C．3    D．4
11．现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，
在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ，
 ， ，则(    )
A．        B．
C．        D．
12．已知函数 ，函数 （ ），若对任意的 ，总存在
 使得 ，则实数 的取值范围是(    )
A．     B．     C．     D．

第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______________.
14．已知 为曲线 在 处的切线，当直线 与坐标轴围成的三角形面积为 时，则实数 的值为____________.
15．已知三棱锥 四个顶点均在半径为R的球面上，且 ， ，若该三棱锥体积的最大值为 ，则这个球的表面积为__________.
16．如图，在平面直角坐标系 ，中心在原点的椭圆与双曲线交于    
 四点，且它们具有相同的焦点 ，点 分别在  
 上，则椭圆与双曲线离心率之积 ______________.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设数列 的前 项和为 ，且 .
（Ⅰ）求证：数列 为等比数列；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求证： 为定值；
（Ⅲ）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
 18．如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知
 ， ， ，点 是棱 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值.
19．某城市对一项惠民市政工程满意程度（分值：分）进行网上调查，有2000位市民参加了投
票，经统计，得到如下频率分布直方图（部分图）：现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取 位市民召开座谈会，其中满意程度在 的有5人．
（Ⅰ）求 的值，并填写下表（2000位参与投票分数和人  
数分布统计）；
满意程度（分数）    
 
 
 
 

人数                    
（Ⅱ）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；
（Ⅲ）若满意程度在 的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两位发言，求
男性甲或女性乙被选中的概率．

20. 已知函数 .
（ Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（ Ⅱ）若函数 在区间 上存在两个不同零点，求实数 的取值范围.

21. 已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ．
（ Ⅰ）求 的方程；
（ Ⅱ） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 ， 两点，当圆 的半径最长时，
求 ．

22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为
 （ 为参数）.以原点 为极点，以 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系
相同的长度单位.圆 的方程为 被圆 截得的弦长为 .
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设圆 与直线 交于点A、B，若点 的坐标为 ，且 ，求 的值.

23．已知 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若不等式 对任意 的都成立，证明： .
甘肃省兰州第一中学2020年高考冲刺模拟试题（三）
文科数学 参考解答
1．D【解析】 ， ；  ．故选 ．
2．D【解析】z＝1+i+i2+i3+…+i2019+ ＝（1+i﹣1﹣i）+…+（1+i﹣1﹣i）+ ＝0+ ＝ ，∴复数z对应的点在第四象限．
3．C【解析】  ，
即 . ， .
4．B【解析】因为 ，且 = = ，所以由 = ，知 ，即只需将 的图像向右平移 个单位，故选B.
5．C【解析】 , , ,故 , , .
对A,若 ,不成立.故A错误.对B,因为 ,故B错误.对C,  成立.
对D, 因为 ,故D错误.
6．D【解析】函数 （ 且 ）是偶函数，排除B；当 时， ，可得： ，令 ，作出 与 图像如图：
可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点， ，排除C；当 时， ，故 时，函数 单调递增， 时，函数 单调递减，排除A.
7．B【解析】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字 ， 的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种，其中符合条件的有8种，故所求概率 .故选：B.
8．B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为 ；所以对应不规则几何体的体积为 ．故选B．
9．B【解析】按照程序框图运行程序，输入 ， ， ，
则 ， ， ， ， ，满足所填条件，循环；
 ， ， ， ， ，满足所填条件，循环；
 ， ， ， ， ，满足所填条件，循环；
 ， ， ， ， ，满足所填条件，循环；
 ， ， ， ， ，满足所填条件，循环；
 ， ， ， ， ，满足所填条件，循环；
 ， ， ， ， ，不满足所填条件，输出结果 ， 所填条件应为 .故选： .
10．C【解析】设点 是函数 图象上任意一点，它关于点 的对称点为 ，
则 ，代入 ，得 .
 函数 的图象与函数 的图象关于点 对称，即函数 的图象关于点 对称，易知函数 在定义域 上单调递增.
又函数 的图象关于原点 对称， 函数 的图象关于点 对称，且函数 在定义域 上单调递增.又 是方程 的一个根.
当 时，令 ，则 在 上单调递减.
 ，
根据零点存在定理，可得 在 上有一个零点 ，根据 的单调性知 在 上有且只有一个零点 ，即方程 在 上有且只有一个根 .根据图象的对称性可知方程 在 上有且只有一个根 ，且 .故方程 所有根的和等于 .
11．B【解析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，
设半径分别为r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，
又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，
对于正方形，如图所示： ，∵∠AOB＝90°，∴ ；
对于正五边形，如图所示： ，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，
∴r1＜r2＜1；
对于正六边形，如图所示： ，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴r3＝OA＝1；
而 r4＝1，
又因为l1＝2π•r1，l2＝2π•r2，l3＝2π•r3，l4＝2π•r4，所以l1＜l2＜l3＝l4，故选：B．
12．B【解析】由题意，函数 的导数为 ，当 时， ，则函数
为单调递增；当 时， ，则函数 为单调递减，即当 时，函数 取得极小值，
且为最小值 ，又由 ，可得函数 在 的值域 ，由函数
 在 递增，可得 的值域 ，由对于任意的 ，总存在
 ，使得 ，可得 ，即为 ，解得 ，故选B.
13． 【解析】作出不等式组表示的可行域，由 可得 ，设 .当直线 经过点 时， 取得最小值 .故答案为： .
14． 或 【解析】因为 ，所以 ，所以切线的方程为： ，令 得： ；令 得： ，所以 ，解得：  或 .
15． 【解析】设△ABC的外接圆的半径为 ，因为 ， ，所以 ， . .设 到平面 的距离为 ，因为三棱锥体积的最大值为 ，即 ，所以 .设球体的半径为 ，则 ，解得 .
 .
16．1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为 ， ，设点 ，由点 既在椭圆上也在双曲线上，则有 ，解得
 ，解得 ,则 ，
即 ， .
17．【解析】（1）当 时， ，解得 .
当 时， ，即 .
因为 ，所以 ，从而数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 .
（2）因为 ，所以 ，故数列 是以4为首项，4为公比的等比数列，
从而 ， ，所以 .
（3）假设 中存在第 项成等差数列，则 ，
即 .因为 ，且 ，所以 .
因为 ，所以 ，故矛盾，所以数列 中不存在三项成等差数列.
18．【解析】（1）由题意，因为 ， ， ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，又因为 侧面 ，所以 ，又由 ， 平面 ，所以直线 平面 .
（2）在 中， 且 ，可得 ，又由 且 ，所以 .又因为 ，则 ，即 ，因为 平面 ，所以 平面 ，则 ，又由 平面 ， 平面 且 ，则 ，则 为所求 与平面 所成角，在直角 中，所以 .
19．【解析】（1）易知投票满意度分数在区间 的人数为 ，
由 ，解得 ．
所以分数在区间 的人数分别为320,400,600,480．填入下表得：
满意程度（分数）    
 
 
 
 

人数    200    320    400    600    480
（2）市民投票满意程度的平均分为
 ．
（3）设5人中2位女性为 ，乙，3位男性为甲， ，则基本事件有（ ，甲）， ，（乙，甲），（乙， ），（乙， ），（ ，乙），（甲， ），（甲， ）， 共10个，其中男性甲或女性乙被选中的事件有（ ，甲），（乙，甲），（乙， ），（乙， ），（ ，乙），（甲， ），（甲， ），共7个，所以男性甲或女性乙被选中的概率为 ．
20．【解析】（1）∵ .①若 时， ，此时函数在 上单调递增；②若 时，又 得 ， 时 ，此时函数在 上单调递减；当 时 ，此时函数在 上单调递增；
（2）由题意知： 在区间 上有两个不同实数解，即函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，因为 ，令 得 .所以当 时， ，函数在 上单调递减，当 时， ，函数在 上单调递增；
则 ，而 ，且 ，要使函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，所以 的取值范围为 .
21．【解析】依题意，圆M的圆心 ，圆N的圆心 ，故 ，由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为 ；
（2）对于曲线C上任意一点 ，由于|PM|-|PN|=2R-2≤3-1=2（R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为 ；若直线l垂直于x轴，易得 ；
若直线l不垂直于x轴，设l与x轴的交点为Q，则 ，解得 ，故直线l： ；有l与圆M相切得 ，解得 ；当 时，直线 ，联立直线与椭圆的方程解得 ；同理，当 时， .
22．【解析】（Ⅰ）由 得 即 . 直线的普通方程为 ， 被圆 截得的弦长为 ，所以圆心到的距离为 ，即 解得 .
（Ⅱ）法1：当 时，将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程得，
 ，即 ，由于 ，故可设 是上述方程的两实根，所以 又直线 过点 ，故由上式及 的几何意义得，       .
法2：当 时点 ，易知点 在直线 上. 又 ，
所以点 在圆外.联立 消去 得， .
不妨设 ，所以  .
23．【解析】（Ⅰ） 就是 .
（1）当 时， ，得 .
(2)当 时， ，得 ，不成立.
（3）当 时， ，得 .
综上可知，不等式 的解集是 .
（Ⅱ）因为 ，
所以 .
因为 ， 时， ，所以 ，得 .
所以 .