甘肃省兰州市第一中学2020年高中数学(理科)短跑模拟测试(二)试题(带答案的文字版)

2020年兰州一中高考数学模拟试卷2（理科）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（  ）
A．（1，3）    B．（1，3]    C．[3，+∞）    D．（3，+∞）
2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数  在复平面内对应的点位于（  ）
A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限
3．若非零实数a，b满足  ，则下列式子一定正确的是（  ）
A．b＞a    B．b＜a    C．|b|＜|a|    D．|b|＞|a|
4．已知α为锐角， ，则  ＝（  ）
A．     B．     C．2    D．3
5．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，
若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（  ）
A．s＞3？    B．s＞5？
C．s＞15？          D．s＞10？    
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．
若动点M满足 ，则 的取值范围是（  ）
A．[0，2]    B．[0，2 ]    C．[﹣2，2]    D．[﹣2 ，2 ]
7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（   ）
 
A．16    B．15    C．14    D．13
8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（   ）
A．（﹣3，7）    B．（﹣4，5）    C．（﹣7，3）    D．（﹣2，6）
9．已知双曲线C： ，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（   ）
A．     B．     
C．     D．
10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（   ）
A．     B．     C．     D．
11．已知函数 ，若方程 的解为 ，则 ＝（   ）
A．     B．     C．     D．
12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（ ≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（   ）
A．     B．     C．     D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13． 的展开式的常数项是    ．
14．设m，n为正数，且m+n＝2，则 的最小值为＝     ．
15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f\’（x），若f（x）+f\’（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为     ．
16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2 ，PC＝ ，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为     ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．
（1）证明：A1C⊥AB1；
（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．
 
18．(12分）已知数列{an}的前n项和为Sn， ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 ．
19．（12分）某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，
年龄（单位：岁）    [20，30）    [30，40）    [40，50）    [50，60）    [60，70]
保费（单位：元）    x    2x    3x    4x    5x
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求 精确到整数时的最小值x0；
（2）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概
率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？
 
20．（12分）已知抛物线 的焦点为  ，点      ，点  在抛物线  上，且满足 （O为坐标原点）.
（1）求抛物线  的方程；
（2）过焦点  任作两条相互垂直的直线l与 ，直线l与抛物线   交于      两点，直线 与抛物线C交于M，N两点， 的面积记为 ，       的面积记为 ，求证： 为定值.
21．（12分）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在  成立，求整数a的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2 ，求实数α的值．
转化为直角坐标方程；
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．
（1）求m的值；
（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．

2020年兰州一中高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（C  ）
A．（1，3）    B．（1，3]    C．[3，+∞）    D．（3，+∞）
2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数 在复平面内对应的点位于（ B ）
A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限
3．若非零实数a，b满足2a＝3b，则下列式子一定正确的是（C  ）
A．b＞a    B．b＜a    C．|b|＜|a|    D．|b|＞|a|
4．已知α为锐角，cosα＝ ，则tan（ + ）＝（ D ）
A．     B．     C．2    D．3
5．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，
若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ D ）

B．s＞3？    B．s＞5？
C．s＞15？          D．s＞10？    

6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（l，0）．若动点M满足 ＝ ，则  的取值范围是（ D ）
A．[0，2]    B．[0，2 ]    C．[﹣2，2]    D．[﹣2 ，2 ]
7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（A  ）
 
A．16    B．15    C．14    D．13
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（ C ）
A．（﹣3，7）    B．（﹣4，5）    C．（﹣7，3）    D．（﹣2，6）
9．已知双曲线C： ，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（A  ）
A． ﹣y2＝1    B．x2 ＝1    
C． ＝1    D． ＝1
10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ D ）
A．     B．     C．     D．
11．已知函数f（x）＝sin（2x﹣ ），若方程f（x）＝ 的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（ B ）
A．     B．     C．     D．
12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（ ≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（ B ）
A．[﹣ ，﹣ ]    B．[﹣ ，2e]    C．[﹣ ，2e]    D．[ ，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是   3  ．
14．设m，n为正数，且m+n＝2，则 的最小值为＝      ．
15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f\’（x），若f（x）+f\’（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为   （0，+∞）  ．
16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2 ，PC＝ ，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 10π     ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．
（1）证明：A1C⊥AB1；
（2）设AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．
 
【解答】（1）证明：连结AC1．
∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1．
∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面AA1C1C．
又∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1C1C，∴B1C1⊥A1C．
∵AC1∩B1C1＝C1，
∴A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，
∴A1C⊥AB1．
（2）取A1C1的中点为M，连结CM．
∵AA1＝AC，四边形AA1C1C为菱形，∠A1AC＝60°，∴CM⊥A1C1，CM⊥AC．
又∵CM⊥BC，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图．
设CB＝1，AC＝2CB＝2，AA1＝AC，∠A1AC＝60°，
∴C（0，0，0），A1（1，0， ），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（﹣1，1， ）．
由（1）知，平面C1AB1的一个法向量为 ＝ ．
设平面ABB1的法向量为 ，则 并且 ，
∴ ．
令x＝1，得 ，即 ＝ ．
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值为： ．
 

18．已知数列{an}的前n项和为Sn， ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 ．
【解答】解：（1）
 
 
 
 
   
19．某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，
年龄（单位：岁）    [20，30）    [30，40）    [40，50）    [50，60）    [60，70]
保费（单位：元）    x    2x    3x    4x    5x
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；
（2）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概
率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？
 

【解答】解：（1）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10＝1，解得a＝0.032．
保险公司每年收取的保费为：
10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）＝10000×3.35x．
∴要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，
解得x ≈29.85，
∴x0＝30．
（2）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150．
P（X＝150）＝ ，P（Y＝2150）＝ ．
∴E（X）＝ ＝147+43＝190元．
②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000．
∵P（Y＝0）＝ ，P（Y＝12000）＝ ，
所以E（Y）＝ ＝240元，
所以E（Y）＞E（X）．
∴年龄为66的该老人购买此保险比较划算．
20．已知抛物线 的焦点为F，点 ，点B在抛物线C上，且满足 （O为坐标原点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与 ，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线 与抛物线C交于M，N两点， 的面积记为 ， 的面积记为 ，求证： 为定值.
【解答】解：(1)设
 
 
因为点B在抛物线C上，
（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设 ，代入 得 ，所以
因此 ，同理可得
因此
21．（12分）已知函数 ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在  成立，求整数a的最小值
【解答】解：（1）由题意可知，x＞0， ，
方程﹣x2+x﹣a＝0对应的△＝1﹣4a，
当△＝1﹣4a≤0，即 时，当x∈（0，+∞）时，f\’（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；                       …（2分）
当 时，方程﹣x2+x﹣a＝0的两根为 ，
且  ，
此时，f（x）在 上f\’（x）＞0，函数f（x）单调递增，
在 上f\’（x）＜0，函数f（x）单调递减；…（4分）
当a≤0时， ， ，
此时当 ，f（x）单调递增，
当 时，f\’（x）＜0，f（x）单调递减；   …（6分）
综上：当a≤0时， ，f（x）单调递增，
当 时，f（x）单调递减；
当 时，f（x）在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；             …（7分）
（2）原式等价于（x﹣1）a＞xlnx+2x﹣1，
即存在x＞1，使 成立．
设 ，x＞1，
则 ，…（9分）
设h（x）＝x﹣lnx﹣2，
则 ，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增．
又h（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，h（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＞0，
根据零点存在性定理，可知h（x）在（1，+∞）上有唯一零点，
设该零点为x0，则x0∈（3，4），且h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，即x0﹣2＝lnx0，
∴ …（11分）
由题意可知a＞x0+1，又x0∈（3，4），a∈Z，
∴a的最小值为5．…（12分）
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2 ，求实数α的值．
转化为直角坐标方程；
【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程 为参数），得曲线C1的普通方程为 ，
由曲线C2的极坐标方程ρ＝2cosθ，得C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；
（2）曲线C1化为极坐标方程为 ，
设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则 ，
∴ ，
由 知， ，
∵ ，∴ 或 ，
∴ 或
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．
（1）求m的值；
（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|，∴f（x﹣2）＝|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0的解集为（﹣∞，4]，
∴|x﹣m﹣2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．
（2）∵m＝6，∴a+2b+c＝12．
又∵a＞0，b＞0，c＞3，
  ，
当且仅当a+1＝2b+2＝c﹣3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，
∴（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值为32.