九年级数学上册21.3应用题和第一节课时间一维二次方程的传播问题和一维二次方程的辅导案例(新人民教育版)

第二十一章

一元二次方程
21.3  实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题与一元二次方程
学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.
2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.
重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.
难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.
 
一、知识链接
1.解一元二次方程的四种解法是什么？

2.列方程解应用题的一般步骤是什么？

 
二、要点探究
探究点1：传播问题与一元二次方程
探究1  有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?

想一想  如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?

典例精析
例1  某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?

讨论1  在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？

讨论2  解决这类传播问题有什么经验和方法？

方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．
(2)“设”是指设未知数；
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程；
(4)“解”就是求出所列方程的解；
(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．

例2  某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？

练一练  
某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？

方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.

【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？

方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.

例3  一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？

方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.

三、课堂小结
列一元二次方程解应用题的步骤    与列一元一次方程解决实际问题基本相同.不同的地方是要检验根的合理性.
列一元二次方程解应用题的类型
    传播问题    数量关系：
第一轮传播后的量=传播前的量× (1+每次传播数量)
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+每次传播数量)=传播前的量×(1+每次传播数量)2.
    数字问题    关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.
    握手问题    甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.
    互赠照片问题    甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.
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1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（    ）
A. x2=1980             B. x(x+1)=1980          C.  x(x-1)=1980             D. x(x-1)=1980
2.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（     ）
A. 1+x+x(1+x)=73        B. 1+x+x2=73          C. 1+x2=73              D. (1+x)2=73
3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（      ）
A. 10           B. 9              C. 8               D. 7
4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.
5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？

6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？

7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.

参考答案
自主学习
知识链接
1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：传播问题与一元二次方程
探究1  解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10,  x2=-12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.
想一想  第1种做法： 以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.
第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.
典例精析
例1  解：设每个支干长出x个小分支，则  1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11,  x2=-12（不合题意，舍去）.  答：每个支干长出11个小分支.
讨论1  每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
讨论2  （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；
（2）可利用表格梳理数量关系；
（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.

例2  解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得 解得x1=6,  x2=-5（舍去）.  ∴x=6,   答：共有6个班级参赛．
练一练  解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得 解得x1=5,  x2=-4（舍去）. ∴x=5.答：共有5个人参加聚会．
【变式题】解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 解得x1=9,  x2=-8（舍去）. ∴x=9.答：共有9个班级参赛．
例3  解：设这个两位数个位数字为x ，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5,  x2=6.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.
当堂检测
1.D   2.B   3.D   4.10          
5.    解：初三有x个班，根据题意列方程，得 化简，得x2-x-12=0,解得x1=4,  x2=-3（舍去）.
答：初三有4个班.

6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19,  x2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.
（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.
7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，解得x1=2,  x2=3.当x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.