四川雅安中学，2020年高中，上学期的开学考试(九月)数学试卷(正文)

四川省雅安中学2020届高三上学期开学摸底考试（9月）数学试卷（文）
一、选择题
1. 已知集合，，则（   ）
A.    B.    C.    D. 
2.若，则复数在复平面内对应的点位于（   ）
A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限
3. 已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（    ）
A.        B.       C.         D.
4. 设函数，则（    ）
A. 1   B. 2    C.      D. 
5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为（    ）
A.        B.     C.      D. 
6．已知直线的倾斜角为，则（    ）
A.         B.         C.        D. 
7. 如图，E、F分别是三棱锥的棱AP、BC的中点，，，，则异面直线AB与PC所成的角为（   ）
A．30°    B．120°    C．60°  D．45°
8．数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的  
A. 必要不充分条件    B. 充分不必要条件
C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件
9.定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（   ）
A. 2018      B. 2020       C. 4034         D. 2
10.函数的图象可能为                              (        ) 

11.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（   ）
A.          B.            C.          D. 
12.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（   ）
A．         B．       C.         D．
二、填空题
13. 命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是__________________．
14. 已知满足，则的最大值为__________．
15. 函数的最小值是________.
16. .已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，
则实数的范围是______________. 
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.

18.如图1，在△中，,分别为，的中点，为的中点， ，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2．

（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求到平面的距离．

19.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如下图所示（（吨）为该商品进货量， （天）为销售天数）：

（Ⅰ）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）在该商品进货量（吨）不超过6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量（吨）恰有一个值不超过3（吨）的概率.
参考公式和数据： ,.

20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

21.设函数
（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围。 

（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．    

23．选修4—5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围。

参考答案
一、选择题
1～5，DCCDC    6～10, ACAAA   11～12, BD
二、填空题13,   ∃x∈R，ex>x     14,  4      15,    16, .a>1
三、解答题
17解：由题意知，
化简得，
即
因为,   所以 
从而  由正弦定理得
由知
所以 ，
当且仅当时，等号成立  故 的最小值为
18.解：（Ⅰ）取线段的中点，连接， ．
因为在△中， ， 分别为， 的中点，所以 ， ．
因为 ， 分别为， 的中点，所以 ， ，     
所以 ， ，所以 四边形为平行四边形，所以 ．
因为 平面， 平面，所以 平面． 
（Ⅱ）为的中点，
又平面平面，
.由图有，，则
                                                      
19.解析：（Ⅰ）依题意， 

回归直线方程为       
（Ⅱ）由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）(2,5)共6种，
故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为       
20.解：（1）由题意知，由抛物线的定义知：，
解得，所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设，，因为，则，由得，故，
故直线的斜率为，因为直线和直线平行，
故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，
由题意知，得.
设，则，，
当时，，
可得直线的方程为，
由，整理可得，
所以直线恒过点，
当时，直线的方程为，过点，
所以直线恒过定点.
21.解：（1）因为，所以
又因为，所以，即……5分
（2）因为，所以，令，
则，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又当时，，当时，，
画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.
22.解：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，
将曲线的方程化成极坐标方程得：，
∴曲线是以为圆心为半径的圆．   
（Ⅱ）设，由与圆M联立方程可得
，
∵O，A，C三点共线，则 ①，
∴用代替可得,
．           

23．解：（1）等价于或或，
解得或。
故不等式的解集为。
（2）因为：，
所以：。
由题意得：，
解得或。