四川雅安中学，2020高中，上学期的考试(九月)，数学试卷(理科)

四川省雅安中学2020届高三上学期开学摸底考试（9月）数学试卷（理）
一、选择题
1.设集合，，则(  )
A. B. C. D. 
2.若复数，复数在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限
3. 已知双曲线的一个焦点为,则焦点到其中一条渐近线的距离为（   ）
A.        B.       C.         D.
4. 设函数，则（   ）
A. 1     B. 2     C.        D. 
5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为（  ）
A.        B.     C.      D. 
6．已知直线的倾斜角为，则（   ）
A.         B.         C.        D. 
7..二项式的展开式中的系数是，则(  )
A. 1 B. C. D. 
8．数列中“对任意且都成立”是“是等比数列”的  
A. 必要不充分条件    B. 充分不必要条件
C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件
9.定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（   ）
A. 2018      B. 2020       C. 4034         D. 2
10.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（   ）
A.          B.            C.          D.
11.已知椭圆的左、右焦点分別为，过的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（  ）
A．         B．       C.         D．
 12. 设是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则(  )
A. B. 到直线的距离不大于2 
C. 直线过抛物线的焦点 D.为直径的圆的面积大于
二、填空题
13.命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是__________________．
14. 已知满足，则的最大值为__________．
15. 某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．
16. 已知函数，若，使得，则的取值范围是______
三、解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.

18.如图1，在△中，,分别为，的中点，为的中点， ，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

19.生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：

（Ⅰ）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；
（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.

20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

21.设函数
（Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数与的值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.

（二）选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（Ⅱ）设与曲线交于两点，与曲线交于两点，求四边形面积的取值范围．    

23．选修4—5：不等式选讲
设函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围。

参考答案
一、选择题
1～5, DCCDC           6～10, ABAAD              11～12,DB
12.【答案】B【解析】当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），
由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，
即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．
则直线MN过定点（2，0）．
则O到直线MN的距离不大于2．故选：B．
二、填空题
13,  ∃x∈R，ex>x     14， 4      15， 10    
16.【答案】
【解析】由题意，设，∵，∴，∴有零点，
即，整理得，即直线与有交点，又由，（），令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，∴，
又，当时，，
分别画出与的图象，如图所示；
由图象可得当，即时，与有交点，
故答案为：．
   
三、解答题
17..解：由题意知，
化简得，
即
因为, 所以
从而   由正弦定理得
由知
所以 ，
当且仅当时，等号成立    故 的最小值为
18.解：（Ⅰ）取线段的中点，连接， ．
因为在△中， ， 分别为， 的中点，所以 ， ．
因为 ， 分别为， 的中点，所以 ， ，     
所以 ， ，所以 四边形为平行四边形，所以 ．
因为 平面， 平面，所以 平面． 
（Ⅱ）分别以为轴建立空间直角坐标系，则面的法向量, ,, ,则
,设面的法向量，则，解得
，所以，，所以
所以二面角的平面角的余弦值. 
19.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为
，
所以购进，生蚝的数列均为（只）；
（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在间的概率为，
的可能取值为，则,
,
所以的分布列为

所以 
20.解：（1）由题意知，设，则的中点为，
因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），
由，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，设，，因为，则，由得，故，
故直线的斜率为，因为直线和直线平行，
故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，
由题意知，得.
设，则，，
当时，，可得直线的方程为，
由，整理可得，所以直线恒过点，
当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.
21.解：（1）因为，所以
又因为，所以，即 
（2）因为，所以，令，
则，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又当时，，当时，，
画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.
由上知，，不妨设，则，
要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需，
即证，即证对恒成立，
令，则
因为，所以，所以恒成立，
则函数在的单调递减，所以，
综上所述. 
22.解：（Ⅰ）由（为参数）消去参数得：，
将曲线的方程化成极坐标方程得：，
∴曲线是以为圆心为半径的圆．       
（Ⅱ）设，由与圆M联立方程可得
，
∵O，A，C三点共线，则 ①，
∴用代替可得,
．               
23．解：（1）等价于或或，
解得或。故不等式的解集为。
（2）因为：，
所以：。由题意得：，
解得或。