江西省南昌市2020届高三(理科)上学期数学试卷(含答案)
江西省南昌市2020高三（理科）上学期数学开学摸底考试试卷（含答案）
本试卷共4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则等于
A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3]
2.复数z满足，则
A.2i B.2 C.i D.1
3.已知平面α内一条直线l及平面β，则“l⊥β”是“α⊥β”的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.等比数列{an}中，若a1a5＝aman，则mn不可能为
A.5 B.6 C.8 D.9
5.已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为1，则等于
A.10 B.12 C.13 D.14
6.在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P满足，则动点P的轨迹方程是
A.y2＝4x B.x2＝4y C.y2＝－4x D.x2＝－4y
7.已知二元一次不等式组表示的平面区域为D，命题p：点(0，1)在区域D内；命题q：点(1，1)在区域D内，则下列命题中，真命题是
A. B. C. D.
8.已知△ABC的垂心为H，且AB＝3，AC＝5，M是BC的中点，则
A.5 B.6 C.7 D.8
9.圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知正实数a，b，c满足：，则
A.a
11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10＝1×29＋0×28＋0×27＋0×26＋0×25＋0×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝(10000001001)2。我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7×7＝61，7×6＝52，7×5＝43，˙˙˙，请类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为
A.(446)8 B.(1134)8 C.(1234)8 D.(4321)8
12.函数(e为自然对数的底数，，a为常数)有三个不同零点，则a的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.展开式中的常数项为 。
14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足，，则等于
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2＝1，，则a3的值为
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，垂直于棱AA1的截面分别与面对角线A1D，A1B，C1B，C1D相交于点E，F，G，H，则四棱锥A1－EFGH体积的最大值为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分.
17.(12分)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，。
(Ⅰ)若边，求角A；
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值。
18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝120°，AB＝AC＝2，AA1＝， E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1F＝3FE。
(Ⅰ)证明：AF⊥平面A1BC；
(Ⅱ)求二面角B－A1E－B1余弦值的大小。
19.(12分)某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3000元)、专业二等奖学金(奖金额1500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图。
(Ⅰ)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；
(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2联表并判断是否有99.9％的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
(Ⅲ)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望。
P() 0.01 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.71 3.84 6.64 7.88 10.83
20.(12分)已知椭圆E：四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点。
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线y＝kx＋m与圆O：相切且交椭圆E于两点M，N，求线段的最大值。
21.(12分)已知函数(e为自然对数的底数，a为常数，且)
(Ⅰ)若函数在x＝1处的切线与直线ex－y＝0平行，求a的值；
(Ⅱ)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求a的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(为极径，θ为极角)。
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的极坐标方程；
(Ⅱ)若射线OA：与曲线C1交于点A，射线OB：与曲线C1交于点B，求的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数，。
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式的解集；
(Ⅱ)若关于x的不等式的解集包含[1，2]，求a的取值集合。