天津实验中学，2021高中数学，上学期第一期(Word版带分析)
2020—2021届高三年级第一次阶段考 数学学科 试卷
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合 的并集，再求出补集即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查了集合的并集和补集的运算，属于基础题.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出 和 的解，根据充分必要条件的定义判定，即可求出结论,
【详解】 得 ， 得 ，
成立，则 成立，
而 成立， 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.
又因为低于60分的人数是15人，
所以该班的学生人数是15÷0.3=50.
本题选择B选项.
4. 定义在R上的偶函数 ，对任意的 ，都有 ， ，则不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目所给条件判断出函数的单调区间和零点，画出函数的大致图像，由此判断出正确选项.
【详解】由于对任意的 ，都有 ，所以函数在 上为减函数，由于函数是 上的偶函数，故函数在 上递增，且 ，由此画出函数大致图像如下图所示，由图可知，不等式 的解集是 .
故选D.
【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
5. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数运算的性质，结合对数函数的单调性进行判断即可
【详解】因为 ， ， ，
据此可得： .
故选：D
【点睛】本题考查了对数式的比较，考查了对数函数的性质应用，考查了数学运算能力.
6. 函数 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析： 为奇函数且 时，函数无意义，可排除 ，又在 是减函数，故选 .
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.
7. 已知 在 上是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合导数与函数单调性的关系可得 在 上恒成立，进而可得 在 上恒成立，再由基本不等式求得 的最大值即可得解.
【详解】因为 在 上是增函数，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因为当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C.
【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系的应用，考查了基本不等式解决恒成立问题的应用，属于中档题.
8. 已知函数 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
由偶函数的定义可判断函数 是定义在 上的偶函数，导数可得函数 在 上单调递增，根据函数的单调性及奇偶性即可得解.
【详解】因为 ，
所以函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
因为当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 即
故选：C.
【点睛】本题考查了导数判断函数单调性的应用，考查了函数单调性与奇偶性比较大小的应用，属于基础题.
9. 已知函数 ，若方程 在区间 内有3个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
转化为函数 与函数 的图象在 内有三个交点，求出 和 的解析式，再利用图象可得结果.
【详解】方程 在区间 内有3个不相等的实根，等价于函数 与函数 的图象在 内有三个交点，
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
作出函数 在 内的图象，如图：
由图可知： 或 ，
故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数的图象的应用，考查了转化与化归思想、数形结合思想，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 设 是虚数单位， （ ），则 _____．
【答案】3．
【解析】
【分析】
根据复数相等的充要条件，建立 方程，求解即可.
【详解】 ，
， .
故答案为：3.
【点睛】本题复数的代数运算和复数相等定义的应用，属于基础题.
11. 的展开式中的常数项为_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
求出 的通项公式，令 的指数为0，即可求解.
【详解】 的通项公式是 ，
，依题意，令 ，
的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.
12. 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教.选出的3名同学是来自互不相同学院的概率_______，设 为选出的3名同学中女同学的人数，则 的数学期望为_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用排列组合求出所有基本事件数及符合要求的基本事件数，代入古典概型概率公式即可求得选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；由题意结合超几何分布概率公式可求得分布列，再由期望公式即可得解.
【详解】设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件 ，
则 ；
随机变量 的所有可能值为
的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以 的数学期望 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的求解，考查了离散型随机变量分布列及数学期望的求解，属于中档题.
13. 已知函数 ，当 时函数 的极值为 ，则 ．
【答案】
【解析】
f′(x)=x2+2ax+a.
由题意知f′(-1)=0,f(-1)=- ,
即
解得
所以f(x)= x3+x2+x- .
所以f(2)= .
14. 设函数 ，则 在动点 处的切线斜率的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由导数的几何意义、导数的运算可得 在点 处的切线斜率 ，再由基本不等式即可得解.
【详解】因为函数 ，所以 ，
所以 在点 处的切线斜率 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立
所以 在动点 处的切线斜率的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.
15. 函数 若方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
作出函数 与函数 的图象，如图所示：
由题意,直线 过(1,0)时, ，
x>1时, ，
直线与y=lnx相切时,设切点坐标为(a,lna),
则切线方程为 ,即 ，
令 ,则 ,∴ ，
∴函数 若方程 恰有四个不相等的实数根，实数 的取值范围是 .
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
三、解答题：本大题共5个题，共75分.
16. 在 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ．
（i）求 的值；
（ii）求 的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）（ⅰ） ，（ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理将已知等式角化边，再由余弦定理，即可求出 ；
（Ⅱ）（i）由 ，得出 关系，即可求解；
（ii）根据 范围求出 ，结合两角和的正弦公式，即可得出结论.
【详解】（Ⅰ） 由正弦定理，
得 ，
；
（Ⅱ）（i） ；
（ii） ，
，
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用三角恒等变换求值，考查计算求解能力，属于基础题.
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，四边形 满足 ， ， ，点 为 中点，点 为 边上的动点，且 .
（1）求证： 平面 .
（2）求证：平面 平面 .
（3）是否存在实数 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且 或 .
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用直线 的方向向量和平面 的法向量垂直，证得 平面 .
（2）根据平面 和平面 的法向量垂直，证得平面 平面 .
（3）设出 点 坐标 ，利用二面角 的余弦值为 列方程，解方程求得 ，进而求得 的值.
【详解】（1）因为 平面 ，所以 ，而 ，所以 两两垂直.以 为空间坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示.
则 ，
由于 ，所以 平面 ，所以 是平面 的法向量.
由于 ， ，所以 平面
（2）设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 .
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 .
所以 ，所以平面 平面 .
（3）设 ，
依题意可知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 .
因为二面角 的余弦值为 ，
所以 ，
即 ，解得 或 .
所以存在 符合题意，且 ，或 .
【点睛】本小题主要考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18. 已知椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为 .已知 ( 为原点)
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意结合椭圆 性质可得 ，再由椭圆离心率公式即可得解；
（2）由题意可设椭圆方程、直线方程，联立方程组可得 ，再由 可得 ，由平面向量共线的性质可得 ，再由圆与直线相切即可得解.
【详解】（1）由题意可得 ， ，设 ，
因为 ，所以 ，
所以椭圆离心率为 ；
（2）由（1）得 ， ，
所以椭圆方程可设为 ，直线 ，
设圆心 ，
由 ，消去y整理得 即 ，
所以 或 ，
当 时， ；当 时， ；
又 在 轴上方，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由圆 同时与 轴和直线 相切，可得圆 的半径为2，
所以点 到直线 的距离 ，解得 （负值舍去），
所以 ， ，
所以椭圆方程为 .
【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆离心率及标准方程的求解，合理转化、细心运算是解题关键，属于中档题.
19. 已知等比数列 的前 项和为 ， 且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 及数列 的前 项和 .
（3）设 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
(1)由 及 可得q的值，由 可得 的值，可得数列 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，由 可得 ，可得 = ，由列项相消法可得 的值；
（3）可得 ，可得 的值.
【详解】解：（1）由题意得： ，可得 ， ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，可得 ，
可得 ;
(2)由 ，可得 ，
由 ，可得 ，可得 ，
可得 的通项公式： = ，
可得：
① -②得： = ，
可得 ;
(3)由 可得
，
可得： =
= =
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质及数列的求和，综合性大，难度中等.
20. 已知函数 (其中 .
（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）设 ，且函数 有极大值点 ，求证： .
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）先求函数解析式 ，再求切点坐标与切线斜率 ，最后求切线方程；
（2）先将函数代入使用参变分离得到 ，再构建新函数 ，接着借导函数研究函数的单调性求 的最大值，最后求 的取值范围；
（3）先根据函数 有极大值点 ，求出 ，接着转化不等式 为 ，构建新函数 ，（ ），利用导函数研究函数的单调性，得到 ，即可证明.
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，当 时，则 ，∴ 切点为 ，
∴ （ ），∴
∴ 函数 的图象在 处的切线方程为： 即
（2）不等式 恒成立，即 恒成立，
∴ ，
∵ ，∴
令 ，则
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
∴当 时， ， 取得最大值，
∴ ，
∴ 的取值范围为： ，
（3）证明：∵ ，
∴
∴ 当 时， ， 单调递增，无极值点，不符合题意；
∴ 当 或 时，令 ，则 的两根为 和 ，
∵ 是函数 的极大值点，∴
由 ， ， ，∴
∵ ，即 ，解得：
，
令 ，（ ）
则 ，（ ）
令 ，（ ）
则 ，（ ）
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
∴ 在 上的最大值 ，
∴ 在 上的最大值
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查导数的几何意义、导数研究函数的单调性、导数研究函数的极值，最值，还考查了构造法，参变分离法，分类讨论等数学思想方法，是压轴题.