四川省成都市第七中学2021届高一数学(理科)上学期入学考试试题(带答案的Word版)

成都七中2020~2021学年度上期2021届高三入学考试
数学试卷（理科）
考试时间：120分钟    总分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．把答案涂在答题卷上．）
1．已知集合 ， ，则 （    ）
A．     B．     C．     D．
2．复数 的模是（    ）
A．1    B．     C．2    D．
3．已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题为真命题的是（    ）
A．     B．     C．     D．
4．抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且点 到直线 的距离是线段 长度的2倍，则线段 的长度为（    ）
A．1    B．2    C．3    D．4
5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（    ）
A．55.2，3.6    B．55.2，56.4    C．64.8，63.6    D．64.8，3.6
6．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（    ）
A．     B．     C．     D．
7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（    ）
 
A．     B．     C．     D．
8．若 ， 为锐角，且满足 ， ，则 的值为（    ）
A．     B．     C．     D．
9．已知数列 满足 ， ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第 行有 个数， ），从左至右第 行第 个数记为 （ ， 且 ），则 （    ）．
 
A．     B．     C．     D．
10．已知函数 ，其中 ， ， 恒成立，且 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是（    ）
A．     B．     C．     D．
11．正方体 中，若 ， 在底面 内运动，且满足 ，则点 的轨迹为（    ）
 
A．椭圆的一部分        B．线段
C．抛物线的一部分        D．圆弧
12．己知函数 的定义域为 ，若对任意的 ， ， 恒成立，则实数 的取值范围为（    ）
A．     B．     C．     D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）
13．在空间直角坐标系 中，记点 在 平面内的正投影为点 ，则 ________．
14．已知 ， 满足 ，则 的最大值为________．
15．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ，若 ， ，则 的值为________．
16．已知椭圆 与双曲线 共焦点， 、 分别为左、右焦点，曲线 与 在第一象限交点为 ，且离心率之积为1．若 ，则该双曲线的离心率为________．
三、解答题（共70分，22与23题二选一，各10分，其余大题均为12分）
17．（本题12分）设数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，点 在直线 上， ．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．（本题12分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 与尺寸 之间近似满足关系式 （ ， 为大于0的常数）．按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（0.302，0.388）内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸
38    48    58    68    78    88
质量
16.8    18.8    20.7    22.4    24    25.5
质量与尺寸的比
0.442    0.392    0.357    0.329    0.308    0.290
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
 
 
 
 

75.3    24.6    18.3    101.4
根据所给统计量，求 关于 的回归方程．
附：对于样本 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ， ．
19．（本题12分）如图，在以 为顶点的圆锥中，母线长为 ，底面圆的直径 长为2， 为圆心． 是圆 所在平面上一点，且 与圆 相切．连接 交圆于点 ，连接 ， ， 是 的中点，连接 ， ．
 
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
20．（本题12分）已知抛物线 ， 为其焦点，椭圆 ， ， 为其左右焦点，离心率 ，过 作 轴的平行线交椭圆于 ， 两点， ．
 
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上一点 作切线 交椭圆于 ， 两点，设 与 轴的交点为 ， 的中点为 ， 的中垂线交 轴为 ， ， 的面积分别记为 ， ，若 ，且点 在第一象限．求点 的坐标．
21．（本题12分）已知函数 ， ，其中 是自然对数的底数．
（1）若曲线 在 处的切线与曲线 也相切．求实数 的值；
（2）设 ，求证：当 时， 恰好有2个零点．
（22题与23题为选做题，二选一）
22．（本题10分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求曲线 的普通方程；
（2）以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ， ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求线段 的长度 ．
23．（本题10分）已知函数 ， 为不等式 的解集．
（1）求 ；
（2）证明：当 ， 时， ．

成都七中2020-2021学年度上期2021届高三入学考试
数学试卷（理科）答案
1-5：CBCBD    6-10：BBBDA    11-12：DB
13．     14．     15．1或3    16．
17．【答案】（Ⅰ）     （Ⅱ）
【解析】（1）由 可得 ，
两式相减得 ．
又 ，所以 ．
故 是首项为1，公比为3的等比数列．所以 ．
由点 在直线 上，所以 ．
则数列 是首项为1，公差为2的等差数列．则 ．
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
则 ，
两式相减得：  
 
∴
18．【答案】（1） ；    （2） ．
【解析】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为非优等品，
所求概率为 ．
（2）对 两边取自然对数得
令 ， ，则 ，且
由所给统计量及最小二乘估计公式有：
 
 ，
由 得 ，
所以 关于 的回归方程为 ．
19．【解析】（1）证明： 是底面圆的直径， 与圆切于点 ，
所以 ，
又 底面，则 ， ，
所以： 面 ，
又因为，在三角形 中，
 ，所以 面 ，∵ 面
所以：平面 平面 ；
（2）因为 ， ，
∴ 为二面角 的平面角，
∴ ，如图建立坐标系，易知 ，
 
则 ， ， ， ， ， ，
由（1）知 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
 ，
 ，
解得： ，
 ．
20．【答案】（1） ．    （2）
【解析】（1）不妨设 在第一象限，由题可知 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，可得 ，椭圆的方程为 ．
（2）设 则切线 的方程为
 
代入椭圆方程得： ，
设 ， ， ，
则 ， ，
 的方程为 ，
即 ，令 得 ，
在直线 方程中令 得 ，
 ， ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ．
化简得 ，
∴ （ 舍去）∴ 的坐标为 ， ，
 ，
因为 ，故此解符合题意．
21．【解析】（1）由 得 ，所以切线的斜率 ．
因为切点坐标为 ，所以切线的方程为 ．
设曲线 的切点坐标为 ．
由 得 ，所以 ，得 ．
所以切点坐标为 ．因为对 也在直线 上．所以 ．
（2）由 ，得 ．
令 ， ，当 时， ，
故 在 上单调递增．
又因为 ，且 ．
所以 在 上有唯一解，从而 在 上有唯一解．
不妨设为 ，则 ．
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增．
故 是 的唯一极值点．
令 ，则当 时， ，所以 在 上单调递减，
从而当 时， ，即 ，
所以  ，
又因为 ，所以 在 上有唯一零点．
又因为 在 上有唯一零点，为1，
所以 在 上恰好有2个零点．
另解：∵ ，∴ ，再证明 ．
22．【答案】（1） （ 或 ）；（2） ．
【解析】（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
将①式两边平方，得 ③，
③ ②，得 ，即 ，
因为 ，当且仅当 ，
即 时取“ ”，所以 ，即 或 ，
所以曲线 的普通方程为 （ 或 ）．
（2）把 代入曲线 得： ， ，
则曲线 的极坐标方程为 ，
设 ， 的极坐标分别为 ， ，由
得 ，即 ，且
因为 ，∴ 或 ，
满足 ，不妨设 ，
所以 ．
注：没考虑 要酌情扣分
23．【解析】（1）
所以不等式的解集为 ．
（2）要证 ，只需证 ，
即证 ，只需证 ，即 ，
即证 ，只需证
因为 ， ，所以 ，
所以所证不等式成立．