2020-2021学年高一数学单元知识梳理:函数的概念和性质

2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：函数的概念与性质

1.同一函数的判定方法

(1)定义域相同；

(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．

2.函数解析式的求法

(1)定义法；

(2)换元法；

(3)待定系数法；

(4)解方程(组)法；

(5)赋值法．

3.函数的定义域的求法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

(3)复合函数问题①若函数 f(x)的定义域为[a，b]，函数 f[g(x)]的定义域应由 a≤g(x)≤b 解出；

②若函数 f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数 f(x)的定义域为函数 g(x)在[a，b]上的值域．

注意：①函数 f(x)中的 x 与函数 f[g(x)]中的 g(x)地位相同．

②定义域所指永远是 x 的范围．

4.函数值域的求法

(1)配方法(二次或四次)；

(2)判别式法；

(3)换元法；

(4)函数的单调性法．

5.判断函数单调性的步骤

(1)设 x1，x2 是所研究区间内任意两个自变量的值，且 x1

(2)判定 f(x1)与 f(x2)的大小：作差比较或作商比较；

(3)根据单调性定义下结论．

6.函数奇偶性的判定方法

首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数 f(－x)与 f(x)之间的关系：①若函数

f(－x)＝f(x)，则 f(x)为偶函数；若函数 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)为奇函数；②若 f(－x)－f(x)

fx ＝0，则 f(x)为偶函数；若 f(x)＋f(－x)＝0，则 f(x)为奇函数；③若

f－x

＝1(f(－x)≠0)，

fx 则 f(x)为偶函数；若

f－x

＝－1(f(－x)≠0)，则 f(x)为奇函数．

7.幂函数的图象特征

(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，图象最多只能

同时出现在两个象限内，至于是否在第二、三象限内出现，则要看幂函数的奇偶性．

(2)幂函数的图象在第一象限内的变化规律为：在第一象限内直线 x＝1 的右侧，图象从

下到上，相应的指数由小到大，直线 x＝1 的左侧，图象从下到上，相应的指数由大到x

x

1

3

2

)

3

1 (, 1)

3

1( ，

)

3

1

3

1 ( ， )

3

1 (, 1)

3

1( ，

]

2

5 [0,







 

 

3 1 0

1 0

x

x

3

1

2

5 ]

2

5 [0,

小．

8.函数的应用

解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理

解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加

间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角

度、面积、体积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力．

一、函数的定义域

函数的定义域是指函数 y＝f(x)中自变量 x 的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究

函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的

重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的

作用．

[典例 1] (1)函数 f(x)＝ ＋(3x－1)

0 的定义域是( )

A. B.

C. D. ∪

(2)已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的定义域是( )

A. B．[－1,4]

C.[－5,5] D．[－3,7]

【答案】(1)D (2)A

【解析】(1)由题意，得 ，解得 x

(2)设 u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以 y＝f(u)的定义域为[－1,4]．再由

－1≤2x－1≤4，解得 0≤x≤ ，即函数 y＝f(2x－1)的定义域是

二、分段函数问题





  

 

2 , 1

2 , 1

x a x

x a x

4

3

2

3

4

3

4

3

y f x  ( )

f x y f x f y ( ) ( ) ( )   

1 1

2

f
 

  

 

x  0 f x( ) 0 

f (0)

f x f x ( ) (2 ) 2   

x y   0 f f f (0) (0) (0)   f (0) 0 

所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函

数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求

值等问题是高考常考的问题．

[典例 2] 已知实数 a≠0，函数 f(x)＝ 若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值_____．

【答案】－

【解析】①当 1－a0 时，此时 a＋1>1，

由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得 a＝－ (舍去)；

②当 1－a>1，即 a

＋a，解得 a＝－ ，符合题意．综上所述，a＝－ .

三、函数的单调性与奇偶性

单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系

转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证

明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．

奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，

常能使求解的问题避免复杂的讨论．

[典例 3]（2020·邢台市第二中学高一开学考试）设函数 的定义域为 R，并且满足

， ，当 时， .

（1）求 的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）如果 ，求 x 的取值范围.

【解析】（1）令 ，则 ，∴ .y x   f f x f x (0) ( ) ( ) 0    

f x f x ( ) ( )    f x( ) R

1 2 x x, R 1 2 x x  2 1 x x   0

f x f x  2 1    

    f x x x f x  2 1 1 1   

    f x x f x f x  2 1 1 1     

   f x x  2 1  0

f x f x  1 2     f x( ) R

1 1

2

f
 

  

   

1 1 1 1 1 2

2 2 2 2

f f f f      
                

f x f x ( ) (2 ) 2   

f x f x f x x f x f ( ) (2 ) ( (2 ) (2 2) (1)          

y f x  ( ) R 2 2 1 x   2

1 x  

（2）令 ，得 ，

∴ ，故函数 是 上的奇函数.

（3）任取 且 ，则 .

∵

，

∴ .故 是 上的增函数.

∵ ，∴ ，

∴ .

又由 是定义在 上的增函数，得 ，解得

四、函数图象及应用

函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函

数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于函数图象正确

地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的

优点．

[典例 4] 设函数 f(x)＝x

2－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)证明：函数 f(x)是偶函数；







    

   

( 1) 2( 3 0)

( 1) 2,(0 3)

2

2

x x

x x

(2)画出这个函数的图象；

(3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)的单调性；

(4)求函数的值域．

【解析】(1)证明：∵函数 f(x)的定义域关于原点对称，

且 f(－x)＝(－x)

2－2|－x|－1

＝x

2－2|x|－1＝f(x)，

即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)当 0≤x≤3 时，

f(x)＝x

2－2x－1＝(x－1)

2－2.

当－3≤x

2＋2x－1＝(x＋1)

2－2.

即 f(x)＝

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．

(3)函数 f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．

f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上单调递减，

在[－1,0)和[1,3]上单调递增．

(4)当 0≤x≤3 时，函数 f(x)＝(x－1)

2－2 的最小值为－2，最大值为 f(3)＝2；

当－3≤x

2－2 的最小值为－2，最大值为 f(－3)＝2.故函数 f(x)

的值域为[－2,2].

五、幂函数的图象问题对于给定的幂函数图象，能从函数图象的分布、变化趋势、对称性等方面研究函数的定

义域、值域、单调性、奇偶性等性质．注意图象与函数解析式中指数的关系，能够根据

图象比较指数的大小．

[典例 5] 如图是幂函数 y＝x

a，y＝x

b，y＝x

c，y＝x

d 在第一象限内的图象，则 a，b，c，

d 的大小关系为( )

A.a

【答案】A

【解析】由幂函数的图象特征可知，在第一象限内直线 x＝1 的右侧，图象从下到上，

相应的指数由小到大．故选 A.

六、函数模型及其应用

建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤：

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用 x，y 分别表示；

(2)建立函数模型，将变量 y 表示为 x 的函数，此时要注意函数的定义域；

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．

[典例 6] 已知 A，B 两城市相距 100 km，在两地之间距离 A 城市 x km 的 D 处修建一垃

圾处理厂来解决 A，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃

圾处理厂与市区距离不得少于 10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的

和成正比，比例系数为 0.25.若 A 城市每天产生的垃圾量为 20 t，B 城市每天产生的垃圾

量为 10 t．

(1)求 x 的取值范围；

(2)把每天的垃圾处理费用 y 表示成 x 的函数；

(3)垃圾处理厂建在距离 A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？2

15

2

15

3

50000 )

3

100 (

2

15 2

x  

3

100

3

100

【解析】(1)由题意可得 x≥10,100－x≥10.

所以 10≤x≤90.

所以 x 的取值范围为[10,90]．

(2)由题意，得 y＝0.25[20x

2＋10(100－x)

2

]，

即 y＝ x

2－500x＋25000(10≤x≤90)．

(3)由 y＝ x

2－500x＋25000＝ (10≤x≤90)，则当 x＝ 时，y 最

小．

即当垃圾处理厂建在距离 A 城市 km 时，才能使每天的垃圾处理费用最少．