2020年，中考十大数学试题专业是10个二次函数的综合应用(包括分析)

题型10 二次函数的综合应用题
一、解答题
1．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l： 与y轴交于点C，与抛物线 的另一个交点为D，已知 ，P点为抛物线 上一动点（不与A、D重合）．
 
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作 轴交直线l于点F，求 的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，直线l的表达式为： ；（2） 最大值：18；（3）存在，P的坐标为： 或 或 或 .
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2） ，即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得： ，解得： ，
故直线l的表达式为： ，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为： ；
（2）直线l的表达式为： ，则直线l与x轴的夹角为 ，
即：则 ，
 
设点P坐标为 、则点 ，
 
 ，故 有最大值，
当 时，其最大值为18；
（3） ，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为 、则点 ，
由题意得： ，即： ，
解得 或0或4（舍去0），
则点P坐标为 或 或 ；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为 ，
设点P坐标为 、则点 ，
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即： ，
解得： 或 （舍去0），
故点 ；
故点P的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．已知二次函数 的图象过点 ，点 （ 与0不重合）是图象上的一点，直线 过点 且平行于 轴． 于点 ，点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：点 在线段 的中垂线上；
（3）设直线 交二次函数的图象于另一点 ， 于点 ，线段 的中垂线交 于点 ，求 的值；
（4）试判断点 与以线段 为直径的圆的位置关系．
 
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ；（4）点 在以线段 为直径的圆上
【分析】（1）把点 代入函数表达式，即可求解；
（2） ，即 ，又 ,即可求解；
（3）证明 ≌  、 ≌  ，即 ，即 ，即可求解；
（4）在 中，由（3）知 平分 ， 平分 ，
则 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵  的图象过点 ，
∴ ，即 ，∴ ；
（2）设二次函数的图象上的点 ，则 ，
 
 ，即 ， ，
又 ，
即 ，
∴点 在线段 的中垂线上；
（3）连接 ，
∵ 在线段 的中垂线上，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌  ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，又在 和 中，
∵ 在 的图象上，由（2）结论知∴ ，
∵ ，
∴ ≌  ，
即 ，
即 ，
∴ ；
（4）在 中，由（3）知 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴点 在以线段 为直径的圆上．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明 ≌  、 ≌R  是本题解题的关键．
3．如图，抛物线 与 轴交于点A（-1，0），点B（-3,0），且OB=OC，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点P的坐标；
（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E,
①求DE的最大值.
②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？
 
【答案】（1） ；（2）点P坐标为 或 或 或 ；（3）①当 时， 最大值为4，②当 或 时，四边形MDNF为矩形.
 
【分析】（1）已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交点式即求得a=-1．
（2）由∠POB=∠ACB联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH，故可过点A在BC边上作垂线AG，构造△ACG∽△POH．利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长，由相似三角形对应边成比例推出 ．设点P横坐标为p，则OH与PH都能用p表示，但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值，进而求点P坐标．
（3）①用m表示M、N横纵坐标，把m当常数求直线MN的解析式．设D横坐标为t，把x=t代入直线MN解析式得点E纵坐标，D与E纵坐标相减即得到用m、t表示的DE的长，把m当常数，对未知数t进行配方，即得到当t=m+2时，DE取得最大值．
②由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分，所以E为MN中点，得到点D、E横坐标为m+2．由①得d=m+2时，DE=4，所以MN=8．用两点间距离公式用m表示MN的长，即列得方程求m的值．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（-3，0）
∴设交点式y=a（x+1）（x+3）
∵OC=OB=3，点C在y轴负半轴
∴C（0，-3）
把点C代入抛物线解析式得：3a=-3
∴a=-1
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，过点P作PH⊥x轴于点H
 
∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH
 
 
∵OB=OC=3，∠BOC=90°
∴∠ABC=45°，
∴△ABG是等腰直角三角形
 
 
 
∴OH=2PH
设P（p，-p2-4p-3）
①当p＜-3或-1＜p＜0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数
∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3
∴-p=2（p2+4p+3）
解得：
 或
②当-3＜p＜-1或p＞0时，点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号
∴p=2（p2+4p+3）

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