我爱孩子 新闻 2020年中考数学十大题型专练09几何类比、拓展、探究题(含解析)

2020年中考数学十大题型专练09几何类比、拓展、探究题(含解析)

2020年,中考数学前十题是09几何类比、展开和探究题(包括分析)

题型09 几何类比、拓展、探究题
一、解答题
1.如图1, ( )绕点 顺时针旋转得 ,射线 交射线 于点 .
(1) 与 的关系是     ;
(2)如图2,当旋转角为60°时,点 ,点 与线段 的中点 恰好在同一直线上,延长 至点 ,使 ,连接 .
① 与 的关系是     ,请说明理由;
②如图3,连接 ,若 , ,求线段 的长度.
 
【答案】(1) ;(2)① 或 ,理由见解析;②
【分析】(1)如图1, 与 的交点记作点 ,由旋转的性质与三角形内角和定理得到 ,即可求解;
(2)①如图2,连接 ,由旋转的性质及全等三角形的性质得到 ∽ ,故 ,即可证明 ≌ ,再得到 ,即可得到结论;
②由①得 , ,由角度的关系得到 ,
再 证明 ,再利用等腰三角形的性质得到 ,再利用直角三角形三角函数求出 ,即可求出AE的长.
【详解】解:(1)如图1,
 与 的交点记作点 ,由旋转知, , ,
∴ ,
∵ , , ,
∴ ,
∴ ,
故答案为: ;
(2)① 或 ,
理由:如图2,连接 ,由旋转知, , , ,
∴ 是等边三角形,∴ ,
∵ ,
∴ ∽ ,
∴ ,
∵ 是 的中点,
∴ ,
∵ , ,
∴ ≌ ( ),
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 或 ,
故答案为: 或 ;
②由①知, , ,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
由①知, ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,

在 中, , ,
在 中, ,
∴ ,
∴ .
 
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟知等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定与性质及三角函数进行求解.
2.(问题)
如图1,在 中, ,过点 作直线 平行于 . ,点 在直线 上移动,角的一边 始终经过点 ,另一边 与 交于点 ,研究 和 的数量关系.
 
(探究发现)
(1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点 移动到使点 与点 重合时,通过推理就可以得到 ,请写出证明过程;
 
(数学思考)
(2)如图3,若点 是 上的任意一点(不含端点 ),受(1)的启发,这个小组过点 作 交 于点 ,就可以证明 ,请完成证明过程;
 
(拓展引申)
(3)如图4,在(1)的条件下, 是 边上任意一点(不含端点 ), 是射线 上一点,且 ,连接 与 交于点 ,这个数学兴趣小组经过多次取 点反复进行实验,发现点 在某一位置时 的值最大.若 ,请你直接写出 的最大值.
 
【答案】【探究发现】(1)见解析;【数学思考】(2)见解析;【拓展引申】(3) 时, 有最大值为2.
【分析】根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得
根据证明 即可推出
过点 作 交 于点 ,连接 ,可证明 ,再推出 即可得 = ,则 .
【详解】证明:【探究发现】
(1)∵


∴ ,且



【数学思考】
(2)∵

∴ ,

∴ ,且 ,


【拓展引申】
(3)如图4,过点 作 交 于点 ,连接 ,
 
∵ ,




∴ ,且


∵ ,






∴点 ,点 ,点 ,点 四点共圆,

∴ ,且




∴ 时, 有最大值为2.
【点睛】本题考查等腰三角形,解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.
3.小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.
   (1)温故:如图 1,在△ABC中,AD⊥BC 于点D,正方形PQMN 的边QM在BC上,顶点P ,N 分别在AB, AC上,若BC=6 ,AD=4,求正方形 PQMN的边长.
  (2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图 2,任意画△ABC,在AB上任取一点P′,画正方形 P′Q′M′N′ ,使Q′,M′在BC边上, N′在△ABC 内,连结B N′ 并延长交AC 于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM 交AB于点P,PQ⊥BC 于点Q,得到四边形 PQMN.小波把线段BN 称为“波利亚线”.
 (3)推理:证明图2 中的四边形  PQMN 是正方形.
 (4)拓展:在(2)的条件下,于波利业线B N 上截取NE=NM ,连结EQ ,EM(如图 3).当tan∠NBM=   时,猜想∠QEM的度数,并尝试证明.
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题.
 
【答案】(1)温故: ;(3)推理:四边形PQMN为正方形.见解析;(4)拓展:猜想 ,理由见解析.

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