2020年，中考数学前十名的试题被特别练习。08与圆相关的证明和计算问题(包括分析)

题型08 与圆有关的证明与计算题
一、单选题
1．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（    ）．
 
A．30°    B．40°    C．50°    D．60°
【答案】D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故选：D．
 
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明 .
2．如图， 为 的切线，切点为 ，连接 ， 与 交于点 ，延长 与 交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为(    )
 
A．     B．     C．     D．
【答案】D
【分析】由切线性质得到 ，再由等腰三角形性质得到 ，然后用三角形外角性质得出
【详解】切线性质得到
 
 
 
 
 
故选D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
3．如图， 是 的内接三角形， ，过点 的圆的切线交 于点 ，则 的度数为（     ）
 
A．32°    B．31°    C．29°    D．61°
【答案】A
【分析】根据题意连接OC， 为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的 的度，再根据直角三角形可得 的度数.
【详解】根据题意连接OC.因为
 
所以可得BC所对的大圆心角为  
因为BD为直径，所以可得  
由于 为直角三角形
所以可得  
故选A.
【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点 是这段弧所在圆的圆心， ，点 是 的中点，且 ，则这段弯路所在圆的半径为（  ）
 
A．     B．     C．     D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解： ，
 ，
在 中， ，
设半径为 得： ，
解得： ，
 这段弯路的半径为
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
5．如图，点 为扇形 的半径 上一点，将 沿 折叠，点 恰好落在 上的点 处，且 （ 表示 的长），若将此扇形 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ）
 
A．     B．     C．     D．
【答案】D
【分析】连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.
【详解】解：连接 交AC于 ．
 
由折叠的知识可得： ， ，
 ，
 ，
 且 ，
 
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
 ，
 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.
6．如图，边长为 的等边 的内切圆的半径为(    )
 
A．1    B．     C．2    D．
【答案】A
【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=  AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
【详解】设 的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，

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