九年级数学，第二册，第一章，解直角三角形1.1，锐角三角形函数赋值设计(含浙江教育分析版)

1.1.1 锐角三角函数  
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(  )
A.34                B.43                C.35                    D.45
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sinα的值是(  )
 
A.35                B.34                C.45                    D.43
3．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的各三角函数值(  )
A．都扩大为原来的2倍  
B．都缩小为原来的12
C．都不变  
D．都扩大为原来的4倍
4．如图，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是 (  )
   
A.BDBC                B.BCAB                C.ADAC                D.CDAC
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为32，AC＝2，则sinB的值是(  )
 
A.23                    B.32                    C.34                    D.43
6．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是(  )
 
A．2                  B.2 55                C.12                D.55
二、填空题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝________．
 
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．
9.如图，⊙O的直径CD＝10 cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8 cm，则sin∠OAP＝________．
 
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝32；②cosB＝12；③tanA＝33；④tanB＝3，其中正确的结论是________(只需填上正确结论的序号).
11．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为________．
 
12．如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连结AP′，则sin∠PAP′的值为__________.
 
三、解答题
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，CD＝3，求tan∠CBD和sinA的值．
 

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．
 

15．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H，求sin∠EAC的值．

 
参考答案
1． A
2． C
3． C [解析]∵各边的长度都扩大为原来的2倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
4． C [解析]∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC＝BCAB＝CDAC，只有选项C错误，符合题意．
5． A [解析]连结DC，则∠B＝∠D，∴sinB＝sinD＝ACAD＝23.故选A.
6． D [解析]∵由图可知，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴cos∠ABC＝BCAB＝55.故选D.
7． 713 
8． 34 
9． 35 
10．②③④ 
11． 23
12． 35   [解析] 连结PP′，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，∴PC＝PC′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6.∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，∴△PCB≌△P′CA(SAS)，∴P′A＝PB＝10.∵62＋82＝102，∴PP′2＋PA2＝P′A2，∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，∴sin∠PAP′＝PP′P′A＝610＝35.
13．解：在Rt△BCD中，
∵CD＝3，BD＝5，∴BC＝4，
∴tan∠CBD＝34.
∵AC＝AD＋CD＝5＋3＝8，BC＝4，
∴AB＝4 5，
∴sinA＝55.
14．解：由图可知∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，得∠EFC＝∠EDC＝90°，
∴∠AFE＋∠BFC＝90°.
在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
根据折叠的性质，得CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理，得BF＝6，
∴tan∠BCF＝BFBC＝34，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝34.
15．解：由题意知EC＝2，AE＝10.
过点E作EM⊥AC于点M，
∴∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴EM＝2，
∴sin∠EAC＝EMAE＝55.

 
1.1.2 锐角三角函数
一、选择题
1．cos30°的值为(  )
A.12                B.32            C.22                D.33
2．下列各式中，正确的是(  )
A．sin60°＝12
B．cos60°＝cos(2×30°)＝2cos30°
C．sin45°＋cos45°＝1  
D．sin60°＝cos30°
3．在Rt△ABC中，cosA＝12，那么sinA的值是(  )
A.22            B.32            C.33                D. 12
4．在△ABC中，若sinA＝cosB＝22，则下列最确切的结论是(  )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
5．sin30°，cos45°，cos30°的大小关系是(  )
A．cos30°>cos45°>sin30°
B．cos45°>cos30°>sin30°
C．sin30°>cos30°>cos45°
D．sin30°>cos45°>cos30°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(  )
 
A.4 33                B．4              C．8 3            D．4 3
7．在△ABC中，若∠A，∠B满足cosA－32＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是(  )
A．45°              B．60°              C．75°              D．105°
二、填空题
8．计算：sin60°·tan60°＋tan45°＝________．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sinA2＝________．
10．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值为________．
 
11．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA＝________．
 
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长为________.
 
三、解答题
13．计算：
(1)sin245°＋tan60°·cos30°－tan45°；

(2)tan30°·sin60°＋cos230°－sin245°·tan45°.

14．计算：－22＋(π－2017)0－2sin60°＋|1－3|.

15．如图，一次函数y＝3x＋m与反比例函数y＝3 3x的图象在第一象限的交点为A(3，n)．
(1)求m与n的值；
(2)设一次函数的图象与x轴交于点B，连结OA，求∠BAO的度数.
 
16．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.
(1)求证：△AOE≌△COD；
(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．
 

17．阅读探究一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如：sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.
(1)sin15°的值是________；
(2)用以上方法求sin75°的值．

18．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
 

 
参考答案
1． B 
2． D
3． B
4． C
5． A [解析]因为sin30°＝12，cos45°＝22，cos30°＝32，且32>22>12，∴cos30°>cos45°>sin30°.故选A.
6． D [解析]∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝BCAB，即cos30°＝BC8，∴BC＝8×32＝4 3.故选D.
7． D [解析]由题意得cosA＝32，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－30°－45°＝105°.
8． 52
9． 12
10． 32    [解析] 连结AB，∵以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，∴OA＝OB.∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝32.
 
11． 1   [解析] 设小正方形的边长为1，则AC2＋BC2＝5＋5＝10，AB2＝9＋1＝10，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴tanA＝BCAC＝1.
12． 4 3
13．解：(1)sin245°＋tan60°·cos30°－tan45°
＝(22)2＋3×32－1＝12＋32－1＝1.
(2)tan30°·sin60°＋cos230°－sin245°·tan45°
＝33×32＋(32)2－(22)2×1＝12＋34－12
＝34.
14．解：－22＋(π－2017)0－2sin60°＋1－3
＝－4＋1－2×32＋3－1
＝－3－3＋3－1
＝－4.
15．解：(1)∵反比例函数y＝3 3x的图象过点A(3，n)，
∴n＝3.
∵一次函数y＝3x＋m的图象过点A(3，n)，
∴m＝－2 3.
(2)过点A作AC⊥x轴于点C，
由(1)可知直线AB的函数表达式为y＝3x－2 3，
∴B(2，0)，即OB＝2.
又AC＝3，OC＝3，∴BC＝OC－OB＝1，
∴AB＝BC2＋AC2＝2＝OB，
∴∠BAO＝∠BOA.
在Rt△OAC中，tan∠BOA＝ACOC＝33，
∴∠BOA＝30°，∴∠BAO＝∠BOA＝30°.
16．解：(1)证明：由折叠的性质，可得AE＝AB，∠E＝∠B＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠D＝90°，
∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°.
又∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COD(AAS)．
(2)∵∠OCD＝30°，AB＝3＝CD，
∴OD＝CD·tan∠OCD＝3×33＝1，
∴OC＝OD2＋CD2＝2.
由(1)知△AOE≌△COD，
∴OA＝OC＝2，
∴S△AOC＝12OA·CD＝12×2×3＝3.
17．解：(1)6－24
(2)sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.
28．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝BCtanA＝2 3，则EF＝AC＝2 3.
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝6，
∴AF＝AC－FC＝2 3－6.