2020年中考数学热点专修14尺作图(含分析)

热点14 尺规作图
【命题趋势】
尺规作图也是中考数学中一个必考的小知识点。它虽然在中考中占的比重不大。题目数量一般就一至两个题，可能为选择题或填空题，也可能是作图题，难度一般。因此我们更要拿好拿稳这几分。
【满分技巧】
一、重点把握五种基本作图：
1．过直线外一点作已知直线的平行线；
2．过直线外或直线上一点作已知直线的垂线；
3．作已知线段的垂直平分线；
4．作已知角的角平分线；
5．作一个角等于已知角；
二、多想一想作图的基本依据和原理
每一个作图我们都要知其然，更要知其所以然，也就是我们要弄明白作图的原理是什么。这样我们才能真正理解这些知识之间的联系。比如，作线段的垂直平分线、角的平分线、作一个角等于已知角其依据都是三角形的全等，只是判定全等的方法略有不同而已。
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1. (2019 北京市) 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ）
A.∠COM=∠COD         B.若OM=MN，则∠AOB=20°        C.MN∥CD                 D.MN=3CD
 
【答案】D
【解析】连接ON，由作图可知△COM≌△DON.
由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A正确.
若OM=MN，则△OMN为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正确
C.由题意，OC=OD，∴∠OCD=180°-∠COD2 .设OC与OD与MN分别交于R，S，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS，∴∠ORS=180°-∠COD2 ，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C正确.
D.由题意，易证MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故选D
2. (2019 河北省)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（  ）
A． B． C．     D．
【答案】C
【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
3. (2019 湖北省宜昌市)通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（  ）
A． B．     C．     D．
【答案】A
【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
4. (2019 湖南省长沙市)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（  ）
 
A．20°    B．30°    C．45°    D．60°
【答案】B
【解析】在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，
故选：B．
5. (2019 吉林省长春市)如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（  ）
A． B．     C．     D．
【答案】B
【解析】∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
6. (2019 山东省东营市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（  ）
 
A．     B．3    C．2    D．
【答案】A
【解析】由作法得GF垂直平分BC，
∴FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴FG∥AC，
∴BF＝CF，
∴CF为斜边AB上的中线，
∵AB＝ ＝5，
∴CF＝ AB＝ ．
故选：A．
7. (2019 山东省潍坊市)如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．
②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．
③连接OE交CD于点M．
下列结论中错误的是（  ）
 
A．∠CEO＝∠DEO        B．CM＝MD         C．∠OCD＝∠ECD           D．S四边形OCED＝ CD•OE
【答案】C
【解析】由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，
∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝ CD•OE，
但不能得出∠OCD＝∠ECD，
故选：C．
8. (2019 山东省烟台市)已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为
A．15°      B．45°      C．15°或30°     D．15°或45°
【答案】D
【解析】由作图纸OP为∠AOB的角平分线，又OC可能在OP的两侧，由此可判断选D．
9. (2019 新疆建设兵团)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（  ）
 
A．BP是∠ABC的平分线              B．AD＝BD    
C．S△CBD：S△ABD＝1：3     D．CD＝ BD
【答案】C
【解析】由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：C．
10. (2019 河南省)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（  ）
 
A．2     B．4    C．3    D．
【答案】A
【解析】如图，连接FC，则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中， ，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝22 ．
故选：A．
二、填空题
11. (2017 湖南省邵阳市)如图（八）所示，已知∠AOB＝ 40°，现按照以下步骤作图：
①在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD ＝ OE；
②分别以 D，E 为圆心，以大于  DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C；
③作射线 OC．
则∠AOC 的大小为____________．
 
【答案】20°
【解析】如图,连接CD、CE，由作法得OE＝OD，CE＝CD，而OC为公共边，所以可根据“SSS”证明△COD≌△COE，所以∠COD＝∠COE，即OC平分∠AOB．∵OC 为∠AOB 的角平分线，所以∠AOC＝ ∠AOB,
 
答案20°
12. (2017 浙江省绍兴市) 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.

 
【答案】x=0或x= 42 -4或4≤x
【解析】以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1  ， 且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，
①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，
除了P1  ， 当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；
只有3个点P；
 
②当0
则OM=ON-MN= 2 NP2-4= 42 -4.
 
③因为MN=4，所以当x>0时，MN
除了P1外，当MP=MN=4时，
过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；
 
当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM= 2 MD=4 2 ，
 
故4≤x
与OB有两个交点P2和P3  ，
故答案为x=0或x= 42 -4或4≤x
13. (2019 宁夏回族自治区)如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ，则   ．
 
【答案】12
【解析】由作法得BD平分 ，
 ， ，
 ，
 ，
∴DA=DB，
在 中，BD=2CD，
∴AD=2CD，
  ．
故答案为12 ．
14. (2019 四川省成都市)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M\’；③以点M\’为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N\’；④过点N\’作射线ON\’交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为     ．
 
【答案】4
【解析】由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝12 AB＝12 ×8＝4．
故答案为4．
15. (2019 浙江省绍兴市)如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为     ．
 
【答案】15°或45°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，
当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，
∴∠ADE＝45°，
当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，
∴△AE′M为等边三角形，
∴∠E′AM＝60°，
∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AD＝AE′，
∴∠ADE′＝15°，
故答案为：15°或45°．
 
三、作图题
16. (2019 江西省)在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．
 
【解析】（1）如图1，EF为所作；
（2）如图2，∠BCD为所作．
 

17. (2019 山东省青岛市)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．
 
【解析】如图，△ABC为所作．
 
18. (2019 四川省达州市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
 
【解析】（1）如图，DE为所作；
 
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC =BEBC ，即DE2 =3-DE3
∴DE＝65