九年级数学上册22.3应用题与二次函数——第二课商品利润最大化问题(新人民教育版)
第2课时
商品利润最大问题
学习目标:
1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程:
一、情景导学：
1、问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
问题1、总利润= × ，单件利润= — 。
2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
3、根据前面的分析我们若设每个涨价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。这里y 是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。
二、做一做：
例题1、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均 每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
例题2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树, 平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
⑶增种多少棵橙 子,可以使橙 子的总产量在60400个以上?
三、训练：
1.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20 个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
2．某类产品按质量共 分为10个档次，生产最低档次产 品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
四．活动与探究
某商场销售某种品牌的纯牛 奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少?
课后巩固:
1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，
下列说法正确的是 ( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，
则下列结论中正确的是( )
A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
D．3是方程ax2＋b x＋c＝0的一个根
3、x＝3时，y有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3) 、求符合条件的二次函数解析式。
4、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件。现在他采用提高售出价，减 少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚利润最大？并求出最大利润。
5、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100x－602＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通 车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，
可获利润 Q＝－99100100－x2＋2945100－x＋160(万元)．
(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少？
(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？