2020-2021年新初中数学上册单元试卷的勾股定理(含分析)

2020-2021 学年新初二数学上册单元测试卷 勾股定理

第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）

一、选择题：本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1．(本题 3 分)已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）

A．25 B．14 C．7 D．7 或 25

【答案】D

【解析】

试题分析：已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨

论解答．

分两种情况：（1）3、4 都为直角边，由勾股定理得第三边长的平方是 25；

（2）3 为直角边，4 为斜边，由勾股定理得第三边长的平方是 7，

故选 D．

2．(本题 3 分)如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升

3cm 至 D 点，则橡皮筋被拉长了( )

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

【答案】A

【解析】

根据题意可得 BC=4cm，CD=3cm，根据 Rt△BCD 的勾股定理可得 BD=5cm，则 AD=BD=5cm，所以

橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．

3．(本题 3 分)如图，有一个池塘，其底面是边长为 10 尺的正方形，一个芦苇 AB 生长在它的中央，

高出水面部分 BC 为 1 尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好

碰到岸边的 B′．则这根芦苇的长度是（ ）A．10 尺 B．11 尺 C．12 尺 D．13 尺

【答案】D

【解析】

解：设芦苇长 AB＝AB′＝x 尺，则水深 AC＝（x﹣1）尺，

因为边长为 10 尺的正方形，所以 B\’C＝5 尺

在 Rt△AB\’C 中，52+（x﹣1）2＝x2，

解之得 x＝13，

即芦苇长 13 尺．

故选：D．

4．(本题 3 分)如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离

为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.9 米，则梯子顶端 A 下落了（ ）

A．0.9 米 B．1.3 米 C．1.5 米 D．2 米

【答案】B

【解析】

试题分析：要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得 AC 和 CE 的

长即可．

解：在 Rt△ACB 中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，

∴AC=2，12

1

3

5 3

15 15 15

3 5

∵BD=0.9，

∴CD=2.4．

在 Rt△ECD 中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，

∴EC=0.7，

∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．

故选 B．

5．(本题 3 分)计算 × ＋ × 的结果在( )

A．4 至 5 之间 B．5 至 6 之间 C．6 至 7 之间 D．7 至 8 之间

【答案】B

【解析】

原式=2+ ， ∵9＜15＜16， ∴3＜ ＜4， ∴5＜ +2＜6，故选 B．

点睛：本题主要考查的是二次根式的计算法则和二次根式的估算，属于基础题型．明确二次根式的

估算法则是解题的关键．

6．(本题 3 分)如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形 A，B，

C 的面积依次为 2,4,3，则正方形 D 的面积为( )

A．9 B．8 C．27 D．45

【答案】A

【解析】

∵正方形 A. B. C 的面积依次为 2、4、3

∴根据图形得：2+4=x−3

解得：x=9

故选 A.

7．(本题 3 分)在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则 AB 的长是( )

A．1 B． C．2 D．

【答案】B2 2

AC BC  

2 2

2 1  3

2 2

5 2 

   225 144 81.

【解析】

在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，

∴AB＝ ，

故选：B．

8．(本题 3 分)一木杆在离地面 5m 处析断，木杆顶端落在木杆底端 12m 处，则木杆析断前高为（ ）

A．18m B．13m C．17m D．12m

【答案】A

【解析】

∵一木杆在离地面 5 米处折断，木杆顶端落在木杆底端 12m 处，

∴折断的部分长为 =13，

∴折断前高度为 5+13=18（米）．

故选 A．

9．(本题 3 分)如图：图形 A 的面积是( )

A．225 B．144 C．81 D．无法确定

【答案】C

【解析】

试题解析：由勾股定理可得：

图形 A 的面积

故选 C.

10．(本题 3 分)如图，一根长 25m 梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 7m，如果梯子2 2

25 -7

2 2

25 – 24 4 （  ）

P3, 4

5

PA  x A PA  4 OA  3

的顶端下滑 4m，那么梯足将滑动（ ）

A．15m B．9m C．8m D．7m

【答案】C

【解析】

解：梯子顶端距离墙角地距离为 =24(m)，

顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为 =15(m)，

15m-7m=8m．

故选：C．

第 II 卷（非选择题)

二、填空题(共 15 分)

11．(本题 3 分)△ABC，AC=6，BC=8， 当 AB=______时，∠C=90°．

【答案】10

【解析】

∵∠C=90°，

∴AB 为斜边，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AB=10.

故答案为：10.

12．(本题 3 分)平面直角坐标系中，点 到原点的距离是_____．

【答案】

【解析】

作 轴于 ，则 ， ．OP  5

5

34

34

则根据勾股定理，得 ．

故答案为： ．

13．(本题 3 分)一个三角形的两边的长分别是 3 和 5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的

长为_____．

【答案】4 或

【解析】

解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；

②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，

故答案是：4 或 ．

14．(本题 3 分)将一根 24cm 的筷子置于底面直径为 8cm，高为 15cm 的圆柱形水杯中，如图所示，

设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是_____．

【答案】7cm≤h≤9cm．

【解析】2 2

BD AD 

2 2

15 8 

34

如图，当筷子的底端在 D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

∴h=24−15=9cm；

当筷子的底端在 A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在 Rt△ABD 中，AD=8cm，BD=15cm，

∴AB= = =17cm，

∴此时 h=24−17=7cm，

所以 h 的取值范围是 7cm⩽h⩽9cm.

故答案为：7cm≤h≤9cm．

15．(本题 3 分)如图，在长方形????中，?? = 3cm，?? = 9cm，将此长方形折叠，使点?与点?重

合，折痕为??，则????的面积为________cm

2.

【答案】6

【解析】

解：由题意可知?? = ??.因为?? = ?? + ?? = ?? + ?? = 9cm，所以?? = (9 − ??)cm.在??????

中，根据勾股定理可知，??2 + ??2 = ??2，所以32 + ??2 = (9 − ??)2，所以?? = 4cm，所以??????

的面积为

1

2 × ?? × ?? =

1

2 × 3 × 4 = 6（cm

2）.

故答案为：6

三、解答题(共 55 分)

16．(本题 7 分)如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，若 AC= ，CD=5，BC=13，求△ABC 的面

积．75

2

34

34 25 

2 2

13 5 

1

2

75

2

【答案】

【解析】

解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDC=90°

在 Rt△ADC 中，AD2=AC2﹣CD2，在 Rt△BCD 中，BD2=BC2﹣CD2，

∵AC= ，CD=5，BC=13，

∴AD= =3，BD= =12，

∴AB=15，

∴S△ABC= AB•CD= .

17．(本题 8 分)如图，已知Rt?ABC中，∠C = 90°，AD是角平分线，CD = 15，BD = 25，求AC的长.

【答案】AC = 30.

【解析】

解：如图所示：4 3

过D作DE ⊥ AB，垂足为E

因为AD是角平分线，∠C=90°

所以CD = DE = 15

BE = √252 − 152 = 20

设AC = x，则AE = AC = x，AB=20+x

在Rt?ABC中，x

2 + 402 = (x + 20)2

解得x = 30 即AC = 30.

18．(本题 8 分)如图所示，隔湖有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上取一个点 C，测得

CA＝50 m，CB＝40 m，试求 A，B 两点间的距离．

【答案】A，B 两点间的距离是 30 m.

【解析】

由图可知，三角形 ABC 是直角三角形．

∵CA=50m，CB=40m，∴AB= √??2 − ??2 = √502 − 402 =30（m）．

答：A，B 两点间的距离是 30 m．

19．(本题 10 分)如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B 为折断处最高点，

树顶 A 落在离树根 C 的 12 米处，测得∠BAC＝30°，求 BC 的长．(结果保留根号)

【答案】 .

【解析】

∵BC⊥AC，∴∠BCA=90°在直角△ABC 中，tan∠BAC= ,

∴BC=AC tan∠BAC=\”12*\” tan30°=12* =4

20．(本题 10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求 BC．2 2 2

AC BC AB  

2 2 2

BC AB AC  

2 2

BC AB AC  

2 2

BC   13 5

144

2 2

BM PM? 

【答案】12

【解析】

解：∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，

∴

∴

∴

又∵AC＝5，AB＝13，

∴

=

=12

21．(本题 12 分)如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东 60°方向以每小时 8 海里的速

度前进，乙渔船沿南偏东 30°方向以每小时 15 海里的速度前进，两小时后，甲船到达 M 岛，乙船到

达 P 岛.求 P 岛与 M 岛之间的距离.

【答案】P 岛与 M 岛之间的距离为 34 海里．

【解析】

解：由题意可知△BMP 为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，

∴MP＝ ＝34 海里．

答：P 岛与 M 岛之间的距离为 34 海里．