2020-2021学年第二天的第一卷数学是同步的:多边形及其内角和

2020-2021 学年初二数学上册同步讲练：多边形及其内角和

一、知识点

1、 边形的内角和= ；

2、 边形的外角和= 。

3、一个 边形的对角线有 条，过 边形一个顶点能作出 条对角线，把 边形分成了

个三角形。

4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形，边数为 n 的正多边形，也叫作正 n 边形.

5、多边形的镶嵌（密铺）问题.

二、考点点拨与训练ABCDE A B E EDC BCD 280



        ， 、

DP CP 、 P P

40



45



50



55



1

2

( )

540

考点 1：与多边形内角有关的计算

典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形 中， 的

平分线 相交于 点，则 的度数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°，

∴∠BCD+∠CDE=540°一 280°=260°，

∵∠BCD，∠CDE 的平分线在五边形内相交于点 O，

∴∠PDC+∠PCD= (∠CDE+∠BCD)=130°，

∴∠P=180°-130°=50°，

故选：C．

方法或规律点拨

本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．

巩固练习

1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为 720°，则这个多边形的边数为

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】

设这个多边形的边数为 n，由多边形的内角和是 720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解

得 n=6.故选 C.

2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是（ ）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

【答案】Bn 2 180   

n 2 180 540 



  

ABCD

    

【解析】

根据多边形内角和定理，n 边形的内角和公式为 ，因此，

由 得 n=5．故选 B．

3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加 1 倍，它的内角和是 2160°，那么原来的

多边形的边数是 ( )

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】

设多边形原有边数为 x，

则(2x−2)×180=2160，

2x−2=12，解得 x=7，

故本题选 C.

4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于 135°，则这个多边形的边数为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

∵一个多边形的每个内角都等于 135°，

∴这个多边形的每个外角都等于 180°-135°=45°，

∵多边形的外角和为 360 度，

∴这个多边形的边数为：360÷45=8，

故选 D.

5．（2020·北京初三二模）如图，四边形 中，过点 A 的直线 l 将该四边形分割成两个多边形，若这两

个多边形的内角和分别为 和 ，则 的度数是（ ）360 540 720 900

l    

  360 180 540

  

   

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

直线 将四边形 ABCD 分成两部分，左边为四边形，其内角和为 360°，右边为三角形，其内角和为

180°，因此

故选：B．

6．（2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( )

A．580° B．1240° C．1080° D．2010°

【答案】C

【解析】

解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被 180°整除．

580÷180=3…40，

1240÷180=6…160，

1080÷180=6，

2010÷180=11…30，

只有 1080°能被 180°整除．

故选：C．

7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是 120°，这个多边形是( )

A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形

【答案】B

【解析】

解：外角是 180°-120°=60°，

360÷60=6，则这个多边形是六边形．( 2) 180? n

n

 

n

13 ( 2) 180 360

2

n     

n 15



故选：B．

8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为 135°，则它的边数为____．

【答案】8

【解析】

设该正多边形的边数为 n

由题意得： =135°

解得：n=8

故答案为 8.

考点 2：与多边形外角有关的计算

典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是 13：2，求这个多边形的边数．

【答案】15.

【解析】

解：设这个多边形的边数为 ，依题意得：

，

解得 ，

这个多边形的边数为 15．

方法或规律点拨

考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于 360 度．

巩固练习

1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是（ ）

A．八 B．九 C．十 D．十一

【答案】B

【解析】

根据题意，得：

（n-2）•180°=3×360°+180°，

解得：n=9，

则这个多边形的边数是 9．

故选 B．2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ）

A．增加 180° B．不变 C．增加 360° D．减少 180°

【答案】B

【解析】

根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于 360º，与边数多少无关，

故选 B.

3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于 72°，则这个正多边形是( )

A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形

【答案】A

【解析】

这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．

故选 A．

4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】B

【解析】

解：设多边形的边数为 n．

根据题意得：（n-2）×180°=360°，

解得：n=4．

故选：B．

5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（ ）

A．180° B．360° C．720° D．1440°

【答案】B

【解析】

解：因为任意多边形的外角和都等于 360°，

所以正十边形的外角和等于 360°，．

故选：B．

6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为 45°，则这个正多边形的内角和是（ ）

A．540° B．720° C．900° D．1080°3

2

【答案】D

【解析】

∵正多边形的一个外角是 45°，

∴360°÷45°=8

∴这个正多边形是正八边形

∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°.

故答案选：D.

7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是 3：2，则这个多边形的边数为____．

【答案】5

【解析】

解：设这个多边形的边数为 n，依题意得：

（n−2）180°＝ ×360°，

解得：n＝5．

故这个多边形的边数为 5．

故答案为：5．

8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形 ABCDEFG 中，AB，ED 的延长线相交于 O 点，若图中∠1，∠2，

∠3，∠4 的外角的角度和为 220°，则∠BOD 的度数为何？( )

A．40° B．45° C．50° D．60°

【答案】A

【解析】

解：∵∠1、∠2、∠3、∠4 的外角的角度和为 220°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，

∵五边形 OAGFE 内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，

∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，ABCEDF AB

ABG G   BAG 90 FG ÐEFG

(6 2) 180 120 ,

6

    

180 30 75 ,

2

  
 

m



2

m 2

2

m 4

2

m n

2

m

故答案为 A.

考点 3：正多边形的角度计算

典例：（2019·吉林省第二实验学校初三二模）如图，以正六边形 的边 为直角边作等腰直角三

角形 ，使点 在其内部，且 ，连接 ，则 的大小是__________度．

【答案】45

【解析】

解：在正六边形 ABCDEF 中， ∵∠AFE=∠BAF=

∵∠BAG=90°， ∴∠FAG=120°-90°=30°，

又∵AF=AB=AG，

∴∠AFG=

∴∠EFG=∠AFE-∠AFG=120°-75°=45°，

故答案为：45．

方法或规律点拨

本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨

巩固练习

1．（2019·江苏省初一期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为 1 的圆形喷水池，则这六个

喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留 π）为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B( ) 6 2 180 720     

2

m

5 2 180 

5

 

6 2 180 

6

 

【解析】

∵六边形的内角和为： ，

∴六个阴影部分所对的圆心角的和为：720°，

∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和，

∴阴影部分的面积为：2π×12=2π（ ）

故选 B．

2．（2018·内蒙古自治区初二期末）有公共顶点 A，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接 AC

交正六边形于点 D，则∠ADE 的度数为（ ）

A．144° B．84° C．74° D．54°

【答案】B

【解析】正五边形的内角是∠ABC= =108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠

ABE=∠E= =120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，

故选 B．

3．（2020·广东省初三其他）如图，在正六边形 ABCDEF 的外侧，作正方形 EFGH，则∠DFH 的度数为____．

【答案】75°

【解析】

观察图形可知，△EFH 是等腰直角三角形，则∠EFH=45°，△DEF 是等腰三角形，∵∠DEF=120°，

∴∠EFD=（180°﹣120°）÷2=30°， ∴∠DFH=45°+30°=75°．1440

36

o

1440

 n    2 180 1440 

n 10

360

 360 10 36  

36

o

( 2) 180 n 

( 2) 180 n

n

  360

n

( 2) 180 n

n

  360 3

n



4．（2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考）如果一个正多边形的内角和等于 ，那么这个正多

边形的每一个外角的度数为______．

【答案】

【解析】 正多边形的内角和等于

解得：

多边形的外角和为 ，且正多边形的每一个外角均相等

这个正多边形的每一个外角的度数为

故答案是：

5．（2020·上海初三二模）我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为 3 的

正多边形的边数为__________

【答案】8

【解析】

设正多边形的边数为 n，

∵内角和为 ，外角和为 360°，

∴一个内角度数为 ，一个外角度数为 ，

∴ = ，

解得 n=8，

经检验 n=8 是方程的解且符合题意，

故答案为：8.

6．（2020·山东省初三一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．

【答案】140°．     180 9 2 1260  

1260 140

9





 

【解析】

解：该正九边形内角和 ，

则每个内角的度数 ．

故答案为：140°．

7．（2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中）如图，在五边形 ABCDE 中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，点 F

在边 AB 上，∠AFE＝45°，则∠AEF 与∠AED 的度数的比值是_______．

【答案】1:4

【解析】

解：设∠AEF=x，

∵∠AFE＝45°，

∴∠A=180°－∠AFE－∠AEF=135°－x

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D=135°－x

∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠AED=180°×（5－2）=540°

∴∠AED=540°－4（135°－x）=4x

∴∠AEF：∠AED=1:4

故答案为：1:4．

8．（2020·常州市第二十四中学初一期中）一机器人以 0.3m/s 的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该

机器人从开始到停止所需时间为__s．

【答案】160.

【解析】解：360÷45=8，

则所走的路程是：6×8=48m，1

4

1

4

则所用时间是：48÷0.3=160s．

9．（2020·江西省石城二中初三其他）两个完全相同的正五边形都有一边在直线 l 上，且有一个公共顶点 O，

其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于 ______ 度．

【答案】108

【解析】

∵五边形是正五边形，

∴每一个内角都是 108°，

∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，

∴∠COD=36°，

∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.

故答案为 108

考点 4：多边形对角线问题

典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的 ，求：

（1）这个多边形的边数；

（2）这个多边形共有多少条对角线．

【答案】（1）边数为 10；（2）35 条

【解析】

解：设这个多边形的边数为 n，由题意得：

180(n-2)× =360，

解得：n=10，

答：这个多边形的边数为 10；

（2）10×(10-3)÷2=35（条）．

方法或规律点拨

本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对

角线的条数公式．( 3)

2

n n 

( )

巩固练习

1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是 5 条的多边形是（ ）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

【答案】B

【解析】

n 边形对角线条数为

∴A. 四边形有 2 条对角线，故错误；

B. 五边形有 5 条对角线，正确；

C. 六边形有 9 条对角线，故错误；

D. 七边形有 14 条对角线，故错误；

故选 B.

2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）

A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个

【答案】D

【解析】如图

，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为 8.

故选：D．

3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片

的边数不可能是

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】

如图可知，原来多边形的边数可能是 5，6，7．不可能是 8．D

12 3 9  



180 (6 2) 720    

故选： ．

4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（ ）条

A．9 条 B．10 条 C．11 条 D．12 条

【答案】A

【解析】

解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是 条．

故选：A．

5．（2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有 3 条，则这个多边形的内角和为（ ）

A．360° B．540° C．720° D．1080°

【答案】C

【解析】

从一个顶点出发的对角线共有 3 条

这个多边形是一个六边形

则这个多边形的内角和为

故选：C．

6．（2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，

可以把一个七边形分割成( )个三角形．

A．6 B．5 C．8 D．7

【答案】B

【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成 7-2=5

个三角形．

故选 B．

7．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为 2100°则这个多边

形的对角线共有（ ）2
2100 180 11

3

 

 3 14 14 3   
= =77

2 2

n n  

A．104 条 B．90 条 C．77 条 D．65 条

【答案】C

【解析】

解： ，则正多边形的边数是 11+2+1=14．

∴这个多边形的对角线共有 条．

故选：C．

考点 5：多边形的镶嵌问题

典例：40．（2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的有

（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

解：等腰三角形的内角和是 180°，能被 360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；

四边形的内角和是 360°，能被 360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；

正六边形的每个内角是 120°，能被 360°整除，能够用一种图形镶嵌整个平面；

正五边形的每个内角是 108°，不能被 360°整除，放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面；

圆不能够用一种图形镶嵌整个平面；

综上所述，能够用一种图形镶嵌整个平面的有 3 个．

故选：C．

方法或规律点拨

本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙．

巩固练习

1．（2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（ ）

A．正八边形和正三角形 B．正五边形和正八边形

C．正六边形和正三角形 D．正六边形和正五边形

【答案】C9

4







  2.7

【解析】A、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角 60°．135m+60n=360°，n=6-

m，显然 m 取任何正整数时，n 不能得正整数，故不能铺满；

B、正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，

m 取任何正整数时，n 不能得正整数，故不能铺满；

C、正六边形的每个内角是 120°，正三角形的每个内角是 60 度．∵2×120°+2×60°=360°，或 120°+4×60°=360

度，能铺满；

D、正六边形的每个内角是 120°，正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m 取任何正

整数时，n 不能得正整数，故不能铺满．

故选 C．

2．（2019·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

A.正三角形，其单个内角为 60°，360° 60°=6，A 选项满足条件；

B.正方形，其单个内角为 90°，360° 90°=4，B 选项满足条件；

C.正六边形，其单个内角为 120°，360° 120°=3，C 选项满足条件；

D.正八边形，其单个内角为 135°，360° 135° ，D 选项不满足条件．

故选：D．

3．（2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（ ）

A．正六边形和正方形 B．正五边形和正八边形

C．正方形和正八边形 D．正三角形和正十边形

【答案】C

【解析】

A、正六边形的每个内角是 120°，正方形的每个内角是 90°，120m+90n=360°，显然 n 取任何正整数时，m

不能得正整数，故不能铺满；

B、正五边形每个内角是 180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为 135 度，135m+108n=360°，显然 n 取任何a a

4 3 2 1

180 360 3 60    

180 360 4 90     3 60 2 90 360     

180 360 5 108    

180 360 6 120     2 60 2 120 360      4 60 120 360    

180 360 8 135    

C

正整数时，m 不能得正整数，故不能铺满；

C、正方形的每个内角为 90°，正八边形的每个内角为 135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；

D、正三角形每个内角为 60 度，正十边形每个内角为 144 度，60m+144n=360°，显然 n 取任何正整数时，m

不能得正整数，故不能铺满．

故选 C．

4．（2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ）

A．正六角形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形

【答案】B

【解析】

解：A、正六边形的每个内角是 120°，能整除 360°，能密铺；

B、正五边形每个内角是 108°，不能整除 360°，不能密铺；

C、正四边形的每个内角是 90°，能整除 360°，能密铺；

D、正三边形的每个内角是 60°，能整除 360°，能密铺．

故选：B．

5．（2019·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为 的正多边形中，能与边长为 的正三角形作平

面镶嵌的正多边形有（ ）

①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形

A． 种 B． 种 C． 种 D． 种

【答案】C

【解析】

解：正三角形的一个内角度数为 ，

①正方形的一个内角度数为 ， ，那么 3 个正三角形和 2 个正方形可作

平面镶嵌；

②正五边形的一个内角度数为 ，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；

③正六边形的一个内角度数为 ， 或 ，可作平面镶

嵌；

④正八边形的一个内角度数为 ，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；

能镶嵌的只有 2 种正多边形．故选 ．

考点 6：多边形的去（多）角问题典例：（2019·江苏省初一期中）小李同学在计算一个 n 边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角

之和是 1380 度，则这个多边形的边数 n 的值是_______．

【答案】9

【解析】

设多边形的边数为 n，多加的内角度数为 α，则

（n-2）•180°=1380°-α，

∵1380°=7×180°+120°，内角和应是 180°的倍数，

∴n-2=7，n=9；

故答案为：9.

方法或规律点拨

本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是 180°的倍数是解

题的关键．

巩固练习

1．（2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）

A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形

【答案】A

【解析】

当截线为经过四边形对角 2 个顶点的直线时，剩余图形为三角形；

当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；

当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；

∴剩余图形不可能是六边形，

故选 A.

2．（2019·云南省初三二模）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得 800°，这个多

边形应该是（ ）

A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形

【答案】B

【解析】

解：设多边形的边数是 n．

依题意有（n﹣2）•180°≥800°，4

9

600

180

 



600

180

 



解得：n≥6 ，

则多边形的边数 n＝7；

故选：B．

3．（2019·浙江省初二学业考试）一个四边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和是（ ）

A．180° B．360°或 540° C．540° D．180°或 360°或 540°

【答案】D

【解析】

解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，

∴内角和可能是 180°，或(4-2) ×180°=540°，或(5-2) ×180°=540°．

故选：D．

4．（2018·山西省初一期末） 若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为 2570°，则这个内角的度数

为( )

A．90° B．105° C．130° D．120°

【答案】C

【解析】

解：∵2570°÷180°=14…50°，

又 130°+50°=180°

∴这个内角度数为 130°

故选 C

5．（2020·偃师市实验中学初一月考）多边形的所有内角与它的一个外角的和为 600°，这个多边形的边数是

_____

【答案】5

【解析】

解：设边数为 n，一个外角为 α，

则（n－2）×180°＋α＝600°，

∴n＝ ＋2，

∵0°＜α＜180°，n 为正整数，

∴当 α＝60°时， 为正整数，此时 n＝5，内角和为（n－2）×180º＝540°．

故多边形的边数为 5．

6．（2019·山西省初一月考）如图，有一张正方形桌面，它的 4 个内角的和为 360°，现在锯掉它的一个角，

残余桌面所有的内角的和是_____________

【答案】540°

【解析】

解：由题意得，残余桌面为五边形，

∴残余桌面所有的内角的和为（5-3）×180°=540°

故答案为：540°．