2020-2021学年，高一数学单元复习了实题训练:一维二次函数、方程和不等式
2020-2021 学年高一数学单元复习真题训练：一元二次函数、方程和不等式
1．（2020•梅州二模）若
1
? ≥
1
?
＞0，有下列四个不等式：①a3＜b3；②loga+23＞logb+13；③√? − √?
＜√? − ?；④a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【解析】根据
1
? ≥
1
?
＞0，不妨取 a＝2，b＝3，则②④不成立，故 ACD 不正确．故选：B．
2．（2020•辽宁三模）若 4x
+4y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，﹣∞） C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞）
【答案】A
【解析】由基本不等式可得，若 4x
+4y＝1，有 1＝4x
+4y≥2√4? ⋅ 4? =2√4?+?，
即 4x+y≤ 1
4 =4
﹣1，根据指数函数 y＝4x 是单调递增函数可得，x+y≤﹣1，
故 x+y 的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．
3．（2020•葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5 关于直线 ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，
则
2
? +
1
?
的最小值为（ ）
A．4 B．4√2 C．9 D．9√2
【答案】C
【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线 ax+by﹣1＝0，则 2a+b＝1，
又因为 a＞0，b＞0，所以
2
? +
1
? =（
2
? +
1
?
）（2a+b）＝5+ 2?
? + 2?
? ≥5+4＝9，
当且仅当
2?
? =
2?
?
且 2a+b＝1 即 a= 1
3，b= 1
3
时取等号，此时取得最小值 9．故选：C．4．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世
西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证
明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF⊥AB，
设 AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．?+?
2 ≥ √??(?
＞
?
＞
0) B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0）
C．2??
?+? ≤ √??(?
＞
?
＞
0) D．?+?
2 ≤ √?2+?2
2
（a＞b＞0）
【答案】D
【解析】由图形可知：OF= 12
?? = 12 (? + ?)
，OC= 12 (? + ?) − ? = 12 (? − ?)
，
在 Rt△OCF 中，由勾股定理可得：CF= √(?+?2 )2 + (?−?2 )2 = √12 (?2 + ?2)
，∵CF≥OF，
∴√12 (?2 + ?2) ≥ 12 (? + ?)
，（a，b＞0）．故选：D．
5．（2020•武汉模拟）若 0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则 x、y、z 的大小关系为（ ）
A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【答案】A
【解析】因为 0＜a＜b＜1，故 f（x）＝bx 单调递减；故：y＝ba＞z＝bb，g（x）＝xb 单调递增；
故 x＝ab＜z＝bb，则 x、y、z 的大小关系为：x＜z＜y；故选：A．
6．（2020•河南模拟）已知区间（a，b）是关于 x 的一元二次不等式 mx2﹣2x+1＜0 的解集，则 3a+2b
的最小值是（ ）A．3+2√2
2
B．
5 + 2√6 C．5
2 + √6 D．3
【答案】C
【解析】∵（a，b）是不等式 mx2﹣2x+1＜0 的解集，
∴a，b 是方程 mx2﹣2x+1＝0 的两个实数根且 m＞0，∴a+b= 2?
，ab= 1?
，
∴?+?
??
= 1
? + 1
? =2；且 a＞0，b＞0；
∴3a+2b= 12
•（3a+2b）•（
1
? + 1
?
）
= 12
•（5+ 2?? + 3??
）
≥ 12
（5+2√2?? ⋅ 3??
）
= 12
（5+2√6
），
当且仅当
√2b= √3a 时“＝”成立；
∴3a+2b 的最小值为1
2
（5+2√6
）
= 52 + √6
．故选：C．
7．（2020•海南）已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2
≥ 12
B．2a﹣b＞12
C．log2a+log2b≥﹣2 D．
√? + √? ≤ √2
【答案】ABD
【解析】
①
已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2
+2b2，则
?2 + ?2 ≥ 12
，故 A 正确．
②
利用分析法：要证
2?−?＞12
，只需证明 a﹣b＞﹣1 即可，即 a＞b﹣1，由于 a＞0，b＞0，且 a+b
＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故 B 正确．
③???2? + ???2? = ???2?? ≤ ???2(?+?2 )2 = −2
，故 C 错误．
④
由于 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，
利用分析法：要证
√? + √? ≤ √2
成立，只需对关系式进行平方，整理得
? + ? + 2√?? ≤ 2
，即
2√?? ≤ 1
，
故
√?? ≤ 12 = ?+?2
，当且仅当 a＝b= 12
时，等号成立．故 D 正确．故选：ABD．
8．（2020•天津）已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，则 1
2? + 1
2? + 8
?+?
的最小值为 4 ．
【答案】4
【解析】a＞0，b＞0，且 ab＝1，则 1
2? + 1
2? + 8
?+? = ?+?
2??
+ 8
?+? = ?+?
2 + 8
?+? ≥2√?+?2 ⋅ 8?+? =4，
当且仅当?+?
2 = 8
?+?
，即 a＝2+√3
，b＝2−√3
或 a＝2−√3
，b＝2+√3
取等号，
故答案为：4
9．（2020•江苏）已知 5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则 x2+y2 的最小值是 4
5
．
【答案】4
5
【解析】方法一、由 5x2y2+y4＝1，可得 x2
= 1−?4
5?2
，
由 x2≥0，可得 y2
∈
（0，1]，
则 x2+y2
= 1−?4
5?2 +y2
= 1+4?4
5?2 = 15
（4y2
+ 1?2
）
≥ 15
•2√4?2 ⋅ 1?2 = 45
，当且仅当 y2
= 12
，x2
= 3
10
，
可得 x2+y2 的最小值为4
5
；
方法二、4＝（5×2+y2）•4y2≤（
5?2+?2+4?2
2
）2
=
25
4
（x2+y2）2，故 x2+y2
≥ 45
，
当且仅当 5×2+y2＝4y2＝2，即 y2
= 12
，x2
= 3
10
时取得等号，可得 x2+y2 的最小值为4
5
．
故答案为：4
5
．
10．（2019•天津）设 x∈R，使不等式 3×2+x﹣2＜0 成立的 x 的取值范围为 （﹣1，2
3
） ．
【答案】（﹣1，2
3
）
【解析】3×2+x﹣2＜0，将 3×2+x﹣2 分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x− 23
）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜23
；
即：{x|﹣1＜x＜23
}；或（﹣1，2
3
）；故答案为：（﹣1，2
3
）；
11．（2019•天津）设 x＞0，y＞0，x+2y＝4，则(?+1)(2?+1)
??
的最小值为 9
2
．
【答案】9
2
【解析】x＞0，y＞0，x+2y＝4，
则(?+1)(2?+1)
??
= 2??+?+2?+1
??
= 2??+5
??
=2+ 5
??
；
x＞0，y＞0，x+2y＝4，
由基本不等式有：4＝x+2y≥2√2??
，∴0＜xy≤2， 5
??
≥ 5
2
，
故：2+ 5
??
≥2+ 52 = 92
；（当且仅当 x＝2y＝2 时，即：x＝2，y＝1 时，等号成立），
故(?+1)(2?+1)
??
的最小值为9
2
；故答案为：9
2
．