在2020-2021学年，高中一年级数学单元复习了实题训练:三角函数
2020-2021 学年高一数学单元复习真题训练：三角函数
1．（2020•新课标Ⅱ）若 α 为第四象限角，则（ ）
A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0
【答案】D
【解析】α 为第四象限角，则− ?
? +2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，
则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α 是第三或第四象限角或为 y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．
2．（2020•新课标Ⅲ）已知 2tanθ﹣tan（θ+ ?
?
）＝7，则 tanθ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由 2tanθ﹣tan（θ+ ?
?
）＝7，得 2tanθ−
????+?
?−???? =7，
即 2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得 2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，
即 tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则 tanθ＝2，故选：D．
3．（2020•新课标Ⅲ）已知 sinθ+sin（θ+ ?
?
）＝1，则 sin（θ+ ?
?
）＝（ ）
A．?
?
B．√?
?
C．?
?
D．√?
?
【答案】B
【解析】∵sinθ+sin（? + ?
?
）＝1，∴sinθ+ ?
?
sinθ+
√?
?
cosθ＝1，
即?
?
sinθ+
√?
?
cosθ＝1，得√?（?
?
cosθ+
√?
?
sinθ）＝1，
即√?sin（? + ?
?
）＝1，得 sin（? + ?
?
）=
√?
?
故选：B．
4．（2020•新课标Ⅰ）已知 α∈（0，π），且 3cos2α﹣8cosα＝5，则 sinα＝（ ）A．√?
?
B．?
?
C．?
?
D．√?
?
【答案】A
【解析】由 3cos2α
﹣8cosα
＝5，得 3（2cos2
α
﹣1）﹣8cosα
﹣5＝0，
即 3cos2
α
﹣4cosα
﹣4＝0，解得 cosα
＝2（舍去），或 cos? = − ??
．
∵
α∈
（0，
π
），∴
α∈
（?
?
，
π
），则 sinα= √? − ????? = √? − (− ??)? = √??
．故选：A．
5．（2020•新课标Ⅰ）设函数 f（x）＝cos（
ωx+ ??
）在[﹣
π
，
π]的图象大致如图，则 f（x）的最小
正周期为（ ）
A．
???
?
B．
??
?
C．
??
?
D．
??
?
【答案】C
【解析】由图象可得最小正周期小于
π
﹣（
−
??
?
）
=
???
?
，大于 2×（
? −
??
?
）
=
???
?
，排除 A，D；
由图象可得 f（
−
??
?
）＝cos（
−
??
? ω+ ??
）＝0，
即为
−
??
? ω+ ?? =kπ+ ??
，k∈Z，（*）
若选 B，即有
ω=
??
??
? =
??
?
，由
−
??
? ×
??
? + ?? =kπ+ ??
，可得 k 不为整数，排除 B；
若选 C，即有
ω=
??
??
? = ??
，由
−
??
? × ?? + ?? =kπ+ ??
，可得 k＝﹣1，成立．故选 C．
6．（2019•新课标Ⅱ）已知
α∈
（0，?
?
），2sin2α
＝cos2α+1，则 sinα
＝（ ）A．?
?
B．√?
?
C．√?
?
D．?√?
?
【答案】B
【解析】∵2sin2α
＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα
＝2cos2
α
，
∵
α∈
（0，?
?
），sinα
＞0，cosα
＞0，∴cosα
＝2sinα
，
∵sin2
α+cos2
α
＝sin2
α+（2sinα
）2＝5sin2
α
＝1，∴解得：sinα= √??
．故选：B．
7．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以?
?
为最小正周期且在区间（?
?
，?
?
）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|
【答案】A
【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除 D 选项；f（x）＝cos|x|的周期为 2π
，可排除 C 选项；
f（x）＝|sin2x|在?
?
处取得最大值，不可能在区间（?
?
，?
?
）单调递增，可排除 B．故选：A．
8．（2019•北京）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大
小为
β
，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β
，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 QO⊥AB，
即有 QO＝2，Q 到线段 AB 的距离为 2+2cosβ
，AB＝2•2sinβ
＝4sinβ
，扇形 AOB 的面积为?
?
•2β
•4＝4β
，△ABQ 的面积为?
?
（2+2cosβ
）•4sinβ
＝4sinβ+4sinβcosβ
＝
4sinβ+2sin2β
，
S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β− ??
•2•2sin2β
＝4sinβ
，即有阴影区域的面积的最大值为 4β+4sinβ
．
故选：B．
9．（2020•海南）如图是函数 y＝sin（
ωx+φ
）的部分图象，则 sin（
ωx+φ
）＝（ ）
A．sin（x+ ??
） B．sin（?
? −2x）
C．cos（2x+ ??
） D．cos（
??
? −2x）
【答案】BC
【解析】由图象知函数的周期 T＝2×（
??
? − ?
?
）＝
π
，即??
? =π
，即
ω
＝2，
由五点对应法得 2× ?? +φ
＝
π
，得
φ=
??
?
，
则 f（x）＝sin（2x+
??
?
）＝cos（?
? −2x−
??
?
）＝cos（﹣2x− ??
）＝cos（2x+ ??
）＝sin（?
? −2x− ??
）＝sin（?
? − ??
）故选：BC．
10．（2020•北京）若函数 f（x）＝sin（x+φ
）+cosx 的最大值为 2，则常数
φ
的一个取值为 ?
?
．
【答案】?
?
【解析】 f（ x）＝ sin（ x+φ
）+cosx＝ sinxcosφ+cosxsinφ+cosx＝ sinxcosφ+（ 1+sinφ
）cosx =
√????? + (? + ????)?sin（x+θ
），其中 cosθ=
????
√?????+(?+????)?
，sinθ= ?+????
√?????+(?+????)?
，
所以 f（x）最大值为
√????? + (? + ????)? =2，所以 cos2
φ+（1+sinφ
）2＝4，
即 2+2sinφ
＝4，所以 sinφ
＝1，所以
φ= ?? +2kπ
，k∈Z 时
φ
均满足题意，
故可选 k＝0 时，
φ= ??
．故答案为：?
?
．
11．（2020•新课标Ⅱ）若 sinx= − ??
，则 cos2x＝ ?
?
．
【答案】?
?
【解析】∵sinx= − ??
，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（
− ??
）2
= ??
．故答案为：?
?
．
12．（2020•浙江）已知 tanθ
＝2，则 cos2θ
＝
− ??
，tan（
θ− ??
）＝ ?
?
．
【答案】
− ??
；?
?
【解析】tanθ
＝2，
则 cos2θ=
?????−?????
?????+????? = ?−????? ?+????? = ?−? ?+? = − ??
．
tan（
θ− ??
）
=
????−?????
?+????????? = ?−? ?+?×? = ??
．故答案为：
− ??
；?
?
．
13．（2020•江苏）将函数 y＝3sin（2x+ ??
）的图象向右平移?
?
个单位长度，则平移后的图象中与 y
轴最近的对称轴的方程是 x= −
??
??
．【答案】x= −
??
??
【解析】：因为函数 y＝3sin（2x+ ??
）的图象向右平移?
?
个单位长度可得
g（x）＝f（x− ??
）＝3sin（2x− ?? + ??
）＝3sin（2x− ?
??
），
则 y＝g（x）的对称轴为 2x− ?
?? = ?? +kπ
，k∈Z，
即 x=
??
?? +
??
?
，k∈Z，当 k＝0 时，x=
??
??
，当 k＝﹣1 时，x= −
??
??
，
所以平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x= −
??
??
，
故答案为：x= −
??
??
，
14．（2019•新课标Ⅰ）函数 f（x）＝sin（2x+
??
?
）﹣3cosx 的最小值为 ﹣4 ．
【答案】﹣4
【解析】∵f（x）＝sin（2x+
??
?
）﹣3cosx，＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，
令 t＝cosx，则﹣1≤t≤1，令 g（t）＝﹣2t2﹣3t+1 的开口向下，对称轴 t= − ??
，在[﹣1，1]上先增
后减，故当 t＝1 即 cosx＝1 时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣4