2020年中考数学热点专业练习11个三角形(包括分析)

热点11 三角形
【命题趋势】
首先说明——三角形是中考必考内容，而且也是热点内容，无论是小题还是大题．因为三角形包括的内容很多，例如三角形的基本知识（内角和定理推论、三边关系）、三角形的三线（角平分线、中线、高线）五心（内心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形）的性质及判定方法，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重，它是我们计算线段长度的最重要的工具，所以这是考查的重点中的重点。
【满分技巧】
一、利用思维导图的方式整理有关三角形的相关内容
有关三角形的内容非常多，利用思维导图的方式可以很好地整理和归纳本部分内容，让这部分知识在我们的大脑中能形成一个完整的知识网络，这可以让我们在做题时可以快速地在大脑中搜索这部分知识．
 
二、总结与三角形有关的基本模型
 （1）有关三角形全等模型
 
（2）有关三角形相似的模型：A字型，反A字型，8字型，反8字型，母子型，一线三等角型，一线三直角型，
  ．
 
 
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（  ）

A．18cm2                        B．12cm2                    C．9cm2                D．3cm2
【答案】C
【解析】∵tan∠C=34 ，AB=6cm，
∴ABBC=6BC=34 ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S=12 ×BP×BQ=12 ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故选C．
2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（   ）
   A．6         B．12          C．18         D．24
【答案】B
【解析】因为DE//BC，所以△ADE∽△ABC，k=12 ,所以△ABC的周长为12
3.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（  ）
A．AE=EC    B．AE=BE    C．∠EBC=∠BAC    D．∠EBC=∠ABE
【答案】C
【解析】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠A=∠EBC，
故选C．
4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（  ）
A．20    B．24    C．     D．
【答案】B
【解析】
设小正方形的边长为x，
∵a=3，b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（3+x）2+（x+4）2=72，
整理得，x2+7x﹣12=0，
解得x= 或x= （舍去），
∴该矩形的面积=（ +3）（ +4）=24，
故选：B．
5.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（  ）
A．8    B．12    C．14    D．16
【答案】D
【解析】
∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵ = ，
∴ = ，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选：D．
6.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（  ）
A．∠A＝∠D        B．AC＝DF    
C．AB＝ED        D．BF＝EC
【答案】A
【解析】
选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：A．
7.已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（  ）
A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．等腰三角形
【答案】B
【解析】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
 

8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（  ）
A．2cm，3cm，4cm    B．1cm，2cm，3cm    
C．3cm，4cm，5cm    D．4cm，5cm，6cm
【答案】B
【解析】
A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；
B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；
C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；
D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．
故选：B．
9.已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（  ）
A．4个    B．5个    C．6个    D．7个
【答案】D
【解析】①若n+2＜n+8≤3n，则
 ，
解得 ，即4≤n＜10，
∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；
②若n+2＜3n≤n+8，则
 ，
解得 ，即2＜n≤4，
∴正整数n有2个：3和4；
综上所述，满足条件的n的值有7个，
故选：D．
10.如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 、 于点 ， ，再分别以点 、 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ， ，则 的面积是   
A．1    B．     C．2    D．
【答案】C
【解析】
由作法得 平分 ，
 点到 的距离等于 的长，即 点到 的距离为1，
所以 的面积 ．
故选： ．
11.满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（  ）
A．AB＝ ，BC＝4，AC＝5    B．AB：BC：AC＝3：4：5    
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5    D．|cosA﹣ |+（tanB﹣ ）2＝0
【答案】C
【解析】A、∵ ，∴△ABC是直角三角形，错误；
B、∵（3x）2+（4x）2＝9×2+16×2＝25×2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝ ，∴△ABC不是直角三角形，正确；
D、∵|cosA﹣ |+（tanB﹣ ）2＝0，∴ ，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；
故选：C．
12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（    ）
A.8                               B.11       
C.16                             D.17
【答案】B
【解析】因为DE垂直平分AB，所以BE=AE，
所以BC=BE+CE=AE+CE=6
又AC=5
所以△ACE的周长为5+6=11
故选B
13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（  ）
 
A．直角三角形的面积    
B．最大正方形的面积    
C．较小两个正方形重叠部分的面积    
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】
设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选：C．
14.如图，在 中， ， ，观察图中尺规作图的痕迹，可知 的度数为   
A．     B．     C．     D．
【答案】C
【解析】
由作法得 ，
 ，
 平分 ， ，
 ，
 ．
故选： ．
15.如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（  ）
A．65°    B．70°    
C．75°    D．85°
【答案】B
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
二、填空题
16.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为  ．
【答案】6或 或
【解析】①如图1
当 ， ，
则 ，
 底边长为6；
②如图2．
当 ， 时，
则 ，
 ，
 ，
 此时底边长为 ；
③如图
当 ， 时，
则 ，
 ，
 ，
 此时底边长为 ．
故答案为：6或 或 ．
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝ BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为     ．
【答案】
【解析】
在Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2a，AC＝ a．
∵DE是中位线，
∴CE＝ a．
在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，
∴∠FEC＝30°．
∴∠A＝∠AEM＝30°，
∴EM＝AM．
△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝ ．
故答案为 ．
18.如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是     ．
 
【答案】8
【解析】∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中， ，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CH＝ AH＝4 ，
∴CD＝2 ，
∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2× ×4×2 ＝8 ，
故答案为：8 ．
 

19.如图，已知直线 ，含 角的三角板的直角顶点 在 上， 角的顶点 在 上，如果边 与 的交点 是 的中点，那么   度．
 

【答案】120
【解析】 是斜边 的中点，
 ，
 ，
 ，
 ，
 ，
 ．
故答案为120．
 
20.等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为     cm．
由题意知，应分两种情况：
【答案】32
【解析】（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；
（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．
故答案为32．
三、证明题
21.已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【证明】：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
 
22.如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
（2）求证：△ABC的内角和等于180°；
（3）若 ＝ ，求证：△ABC是直角三角形．

【解】：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，
∴∠A+∠B＜∠C；
（2）如图，过点A作MN∥BC，
∵MN∥BC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于180°；
（3）∵ ＝ ，
∴ac＝ （a+b+c）（a﹣b+c）＝ [（a2+2ac+c2）﹣b2]，
∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
 
23.已知，在如图所示的“风筝”图案中， ， ， ．求证： ．
【证明】：
 
 ，且 ，
 
 
24.如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
①【证明】：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD．
在△AEC与△BCD中，
 
∴△CAE≌△BCD（AAS）．
∴EC＝BD；
②解：由①知：BD＝CE＝a
CD＝AE＝b
∴S梯形AEDB＝ （a+b）（a+b）
＝ a2+ab+ b2．
又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC
＝ ab+ ab+ c2
＝ab+ c2．
∴ a2+ab+ b2＝ab+ c2．
整理，得a2+b2＝c2．
25.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝ AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．
【证明】：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∵点E，F分别是边BC，AC的中点，
∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，
∴FE＝ AB，FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠EFC，
∵AD＝ AB，
∴AD＝FE，
在△ADF和△FEC中， ，
∴△ADF≌△FEC（SAS），
∴DF＝EC，
∴DF＝BE．
四、作图题
26.如图，已知等腰 顶角 ．
（1）在 上作一点 ，使 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证： 是等腰三角形．
（1）解：如图，点 为所作；
 
（2）证明： ，
 ，
 ，
 ，
 ，
 ，
 是等腰三角形．
五、应用题
27.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．
在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）．
所以，AB=AD+BD=15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v= =0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．
28.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
                             
                        
                            

【解】：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设 ，∴ ．
由勾股定理得： ，
 ，
∴  ，
解之得： ．
∴ ．    
∴  ．
六．探究题
29.如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
 
 【解析】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM= BD，PN= AE，
∴PM=PM，
∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，
∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°，
即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，
∠CAE=∠CBD，
∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PM∥BD；
PN= AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠MGE+∠BHA=180°．
∴∠MGE=90°．
∴∠MPN=90°．
∴PM⊥PN．                         
（3）PM=kPN                         
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD．
∵BC=kAC，CD=kCE，∴ =k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD=kAE．                       
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM= BD，PN= AE．
∴PM=kPN．
30.已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
 
【解析】：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到∠ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵点P在线段BD的垂直平分线上，
∴PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
如图所示：